Ей соответствует разностное уравнение

a ₀ y (n + q) + a ₁ y (n + q - 1) +…+ a_qy (n) = b ₀ u (n + q) + b ₁ u (n + q - 1) +…+ b_qu (n).

Переменные состояния примем следующие:

X ₁(n) = y (n);

X ₂(n) = x ₁(n + 1) = y (n + 1);

X ₃(n) = x ₂(n + 1) = y (n + 2);

………………………………

X_q (n) = x_{q -1}(n + 1) = y (n + q - 1);

X_q (n + 1) = y (n + q).

Подставим их в разностное уравнение, приняв a ₀ = 1, b_q = 1, b ₀ = b ₁ =
= … = b_{q -1} = 0, y (n + q) = x_q (n +1) = - a ₁ x_q (n) - a ₂ x_{q -1}(n) -…- a_qx ₁(n) + u (n).

Полученные уравнения можно представить в виде векторно-матричного уравнения состояний:

= +

Совместно с уравнением выхода

Y (n)=[10…0].

Вводя обозначения: X – вектор переменных состояния; А - матрица системы; В – матрица входа; С –матрица выхода; - записываем векторно-матричное уравнение дискретной системы в комплексной форме:

X (n + 1) = AX (n) + BU (n); Y (n) = CX (n).

Можно получить выражения матриц A,B и С и в более общем случае, когда b_q 1 и b ₀ b_{q -1}0 [1].

Решение дискретного уравнения состояния с помощью

Z-преобразования

Рассмотрим дискретное уравнение состояния X (n +1)= A * X (n)+ B * U (n), где
A * = e^AT = L ^-1{(SI-A)^-1}| _t=T; B * = [] B. Подвергнем обе части уравнения состояния Z-преобразованию zX (z) - zX (0) = A * X (z) + B * U (z). Отсюда X (z) = (zI - A *)^-1 zX (0) + (zI - A *)^-1 B * u (z). Подвергая обратному Z- преобразованию, имеем X (n) = Z ^-1{(zI - A *)^-1 z } X (0) + Z ^-1{(zI - A *)^-1 B * u (z)}. Покажем, что обратное Z – преобразование от (zI - A *)^-1 есть дискретная переходная матрица состояния A (kT).

Z – преобразование A (kT) определяется общей формулой Z –преобразования A (z) = =. Умножим обе части последнего уравнения на A * z ^-1 и вычтем результат из последнего уравнения. Получим (I - A * z ^-1) A (z) = I, откуда A (z) = (I - A * z ^-1)^-1 = (zI - A *)^-1 z.

Вычисляя обратное Z – преобразование, получим A (kT) = Z ^-1{(zI - A)^-1 z }.

Это выражение и является основой способа определения переходной матрицы состояния, основанного на Z – преобразовании.

Второе слагаемое в выражении для X(n) вычисляем с помощью теоремы свертки и выражение для A (kT);

Z ^-1{(zI - A *)^-1 B * U (z)} =

Дата добавления: 2014-10-31