Тема 2.1. Электрическое поле 1 страница

При решении задач по данной теме приходится оперировать векторными величинами: силой электрического взаимодействия, напряженностью. Так как к электрическим полям, создаваемым несколькими зарядами, применим принцип суперпозиции (наложения), то результирующая сила и напряженность в данной точке поля должны определяться как геометрическая сумма сил или напряженностей. Поэтому рекомендуется повторить все действия над векторными величинами.

Если при решении задач используются формулы, в которые входит постоянный множитель 1/4πε₀ Н·м²/Кл², то для упрощения вычислений используется 9·10⁹ Н·м²/Кл². Если в условиях задач среда не оговорена, предполагается, что заряды взаимодействуют в воздухе при нормальных условиях, диэлектрическая проницаемость которого немного больше ε₀. Пренебрегая этим различием, можно считать ε _возд≈ ε₀.

При решении задач кроме значения ε₀= 1/36·10⁹ Кл²/(Н·м²)=8,85·10^-12 Ф/ммогут потребоваться числовые значения заряда электрона е =1,6·10^-19 Кл или равного ему по модулю заряда протона, массы электрона т_е= 9,11·10^-31 кг, массы протона т_р =1,67·10^-27 кг. Необходимо помнить, что потенциал результирующего электрического поля, создаваемого несколькими электрическими зарядами, для каждой точки пространства находят алгебраическим сложением потенциалов электрических полей каждого заряда, так как потенциал — величина скалярная.

Задача 22. Два маленьких проводящих шарика одинакового радиуса с электрическими зарядами — 4·10^-8 и 1,3·10^-8 Кл привели в соприкосновение с таким же по размерам, но незаряженным шариком. Как распределился заряд между шариками после их соприкосновения? Затем два шарика поместили в керосин на расстояние 15 см один от другого. Определить силу электрического взаимодействия между ними. На каком расстоянии в вакууме сила взаимодействия зарядов на шариках останется прежней? Заряды считать точечными, массами шариков пренебречь.

Дано: Q₁ =-0,4·10^-8 Кл, Q₂ =1,3·10^-8 Кл — электрические заряды на шариках до соприкосновения; r= 15 см=0,15 м — расстояние между центрами шариков в керосине; ε =2 — диэлектрическая проницаемость керосина; ε₀ =1/36·10⁹ Кл²/(Н·м²) — электрическая постоянная.

Найти: Q'₁, Q'₂, Q'₃ — заряды на шариках после их соприкосновения; F — силу электрического взаимодействия двух шариков в керосине; r₀ — расстояние в вакууме, на котором взаимодействие зарядов на шариках остается прежним.

Решение. Учитывая закон сохранения электрического заряда и одинаковые размеры всех шариков, определим заряд Q каждого из них после соприкосновения с другими:

Q'₁=Q'₂=Q'₃=Q= (Q'₁+Q'₂+Q'₃)/3;

Q= (-0,4·10^-8+1,3·10^-8+0)Кл/3=0,3·10^-8 Кл.

Силу F электрического взаимодействия зарядов в керосине определим из закона Кулона:

По условию, после перенесения зарядов в вакуум, сила взаимодействия не изменилась, поэтому F₀ = F и, следовательно, F₀ = Q²/4πε₀r², откуда

Ответ. После соприкосновения заряд на каждом шарике 0,3·10^-8 Кл; сила электрического взаимодействия в керосине 1,8 мкН; в вакууме взаимодействие зарядов будет прежним на расстоянии 0,21 м.

Задача 23. Проводящий шарик радиусом 2 см с зарядом 6,4·10^-8 Кл образует электрическое поле. Найти напряженность этого поля в точке, удаленной от поверхности шарика на 18 см. Какая сила будет действовать на пробный электрический заряд 5·10^-9 Кл в этой точке поля? Определить поверхностную плотность заряда на шарике. Среда — вакуум.

Дано: Q =6,4·10^-8 Кл — заряд, образующий поле; r_ш =2 см=0,02 м — радиус шарика; l = 18 см = 0,18 м — расстояние от поверхности шарика до точки, в которой определяется напряженность; Q_np =5·10^-9 Кл — пробный заряд; ε₀ =8,85·10^-12 Ф/м — электрическая постоянная.

Найти: Е — напряженность поля в заданной точке; F — силу, действующую на пробный заряд; — поверхностную плотность заряда на шарике.

Решение. Условимся заряд считать точечным, сосредоточенным в центре шарика. Тогда напряженность Е поля точечного заряда определим из формулы, где r=r_ш+l

Зная напряженность, определим силу F, действующую на пробный заряд:

F = EQ_np,F =14,4·10³ Н/Кл·5·10^-9 Кл=72·10^-6 Н=72мкН.

Для нахождения поверхностной плотности электрического заряда воспользуемся формулой площади поверхности шара S = 4 r_ш², тогда

Ответ. Напряженность поля в заданной точке 14,4 кН/Кл; сила, действующая на пробный заряд, 72 мкН; поверхностная плотность заряда на шаре 1,3·10^-5 Кл/м².

Задача 24. В вершинах А и В при основании равностороннего треугольника со стороной, равной 12 см, находятся точечные положительные заряды по 0,8·10^-8 Кл. Определить напряженность электрического поля и потенциал в вершине С. Среда — вакуум.

Дано: Q₁ = Q₂ =0,8·10^-8 Кл — электрические заряды; r =12см=0,12м — длина стороны треугольника; ε₀ =8,85·10^-12Кл²/(Н·м²) — электрическая постоянная.

Найти: Е_c — напряженность поля в точке С; φ_c — электрический потенциал в этой же точке.

Решение. В точке С рисунка показаны векторы напряженности поля от каждого заряда. Результирующую напряженность суммарного поля в точке С определим по правилу сложения векторных величин.

Так как заряды, создающие поле, и их расстояния до точки, в которой определяется напряженность, одинаковы, можно записать

׀ Ec₁ ׀=׀ Ec₂ ׀= Q₁/4πε₀r².

Заменяя буквенные выражения их числовыми значениями, получаем

׀ Ec₁ ׀=׀ Ec₂ ׀=9·10⁹ Н·м²/Кл²·0,8·10^-8 Кл/0,0144 м²= 5·10³ Н/Кл.

Напомним, что коэффициент 1/(4πε₀)=9·10⁹ Н·м²/Кл².

Векторы Ec₁ и Ec₂ равны по модулю, но образуют при вершине С угол а =60°. На рисунке видно, что Е_с есть диагональ параллелограмма, которая может быть выражена так:

׀ Ec₁ ׀ =2Eс_l cos(α /2) ,Е_С= 2·5·10³ Н/Кл·0,87=8,7·10³ Н/Кл.

Потенциал точки С электрического поля определяется как алгебраическая сумма потенциалов, образованных зарядами Q₁ и Q₂ в данной точке:

φ_c=2Q₁/4πε₀r

φ_c =2·9·10⁹ Н·м²/Кл²·0,8·10^-8 Кл/0,12 м=1,2·10³ B=1,2 кВ.

Ответ: Напряженность поля в точке С равна 8,7·10³ Н/Кл; потенциал в этой точке равен 1,2 кВ.

Задача 25. Проводящий шарик радиусом 3 см, находящийся в вакууме, заряжен до потенциала 3 кВ. Определить заряд шарика и поверхностную плотность заряда на нем. Какую работу совершит электрическое поле для перемещения пробного заряда 0,2·10^-8 Кл из точки, отстоящей от поверхности шарика на 12 см, в точку, расположенную на 10 см дальше, считая по линии напряженности?

Дано: r =3см=0,03 м — радиус шарика: φ =3 кВ=3000 В — электрический потенциал шарика; Q_np =0,2·10^-8 Кл — пробный заряд; r₁ =12 см=0,12 м — расстояние от поверхности шарика до начала перемещения пробного заряда; r₂ =(0,12+0,10) м=0,22 м — расстояние от поверхности шарика до конечной точки перемещения заряда; ε₀ =[1/(36 · 10⁹)] Кл²/(Н·м²) — электрическая постоянная.

Найти: Q — заряд шарика; — поверхностную плотность электрического заряда на нем; А — работу, совершаемую электрическим полем для перемещения пробного заряда.

Решение. Из формулы потенциала наэлектризованного шара

φ_c=2Q₁/4πε₀r определим заряд шарика:

Q=4πε₀rφ_c, Q =4Кл²·0,03 м·3000 В/36·10⁹ Н·м²=10^-8 Кл.

Поверхностную плотность заряда на шарике определим по формуле σ = Q/S, где S=4πr² поверхность шарика. Тогда

σ=Q/4πr², = 10^-8 Кл/ 4 ·9·10^-4 м²=0,9·10^-6 Кл/м².

Для определения работы, совершаемой электрическим полем воспользуемся формулой А=Q_np(φ₁ - φ₂), в данном случае φ₁ и φ₂ — потенциалы двух точек электрического поля, между которыми перемещается пробный заряд:

и

Подставляя в формулу работы выражения для φ₁ и φ₂, получим,

или

Заменяя буквенные выражения числовыми значениями известных величин, получим

Ответ. Заряд шарика 1·10^-8 Кл; поверхностная плотность заряда на нем 0,9·10^-6 Кл/м²; работа, совершаемая электрическим полем, 4,8·10 ^-7 Дж.

Задача 26. Три конденсатора, электрические емкости которых 3, 6 и 9 мкФ, соединены последовательно и подключены к источнику постоянного напряжения 220 В как показано на схеме. Определить емкость батареи, общий заряди заряды на отдельных конденсаторах, напряжение на каждом конденсаторе и энергию, запасенную батареей.

Дано: С₁ =3 мкФ=3·10^-6 Ф, С₂ =6 мкФ=6·10^-6 Ф, С₃ =9 мкФ=9·10^-6 Ф — электрические емкости конденсаторов; U =220 В — напряжение, подведенное к батарее.

Найти: С — электрическую емкость (емкость) батареи; Q — общий электрический заряд; Q₁, Q ₂, Q₃ и U₁, U₂, U₃ — заряды и напряжения на отдельных конденсаторах; W — электрическую энергию, запасенную батареей.

Решение. Из формулы последовательного соединения конденсаторов

1/С=1/С₁+1/С₂+1/С₃ определим емкость батареи:

Зная электрическую емкость батареи и напряжение, подведенное к ней, определим электрический заряд Q = CU. При последовательном соединении конденсаторов заряд на каждом конденсаторе одинаков и равен заряду всей батареи:

Q₁=Q₂ = Q₃=Q, Q =1,64·10^-6 Ф·220 В=3,6·10^-4 Кл. При последовательном соединении напряжения на конденсаторах различной емкости различны:

U₁ = Q/C₁, U₂ = Q/C₂, U₃ = Q/C₃,

, , .

Электрическая энергия, запасенная батареей конденсаторов,

W=CU²/2, W= 1,64·10^-6 Ф·(220 В)²=3,97·10^-2 Дж 0,04 Дж.

Ответ. Электрическая емкость батареи 1,64 мкФ; заряд на каждом конденсаторе и на батарее 3,6·10^-4 Кл; напряжения на отдельных конденсаторах 120, 60 и 40 В; электрическая энергия приблизительно 0,04 Дж.

Задача 27. Три конденсатора, электрические емкости которых 3, 6 и 9 мкФ, соединены, как показано на схеме, в батарею и подключены к источнику постоянного напряжения 220 В. Определить электрическую емкость батареи, общий заряд и заряды на отдельных конденсаторах, электрическую энергию, запасенную батареей.

Дано: С₁ =3 мкФ=3·10^-6 Ф, С₂ =6 мкФ=6·10^-6 Ф, С₃ =9 мкФ=9·10 Ф — электрические емкости конденсаторов; U =220 В — напряжение, подведенное к батарее.

Найти: С — электрическую емкость батареи конденсаторов; Q,Q₁,Q₂,Q₃ — общий электрический заряд и заряды на отдельных конденсаторах; W — энергию, запасенную батареей.

Решение. Электрическую емкость при параллельном соединении конденсаторов в батарею определим из формулы С=С₁+С₂+С₃,

С= (3+6+9)·10^-6 Ф=18·10^-6 Ф=18 мкФ.

Общий заряд

Q=CU, Q= 1,8·10^-5 Ф·220 В=3,96·10^-3 Кл=3,96 мКл.

При параллельном соединении конденсаторов напряжение на каждом конденсаторе одинаково и равно подведенному к батарее напряжению — в данном случае 220 В: U₁ = U₂ = U₃=U. Определим заряды на конденсаторах:

Q₁=C_lU, Q₁ =3·10^-6 Ф·220 В=0,66·10^-3 Кл;

Q₂=C₂U,Q₂ =6·10^-6 Ф·220 В=1,32·10^-3 Кл;

Q₃=C₃U,Q₃ =9·10^-6 Ф·220 В=1,98·10^-3 Кл.

Примечание. Общий заряд можно определить другим способом, исходя из закона сохранения электрического заряда: Q=Q₁+Q₂+Q₃ =3,96 мКл.

Энергия, запасенная батареей конденсаторов,

W= QU/2, W= 3,964·10^-3 Кл·220 В=43,6·10^-2 Дж.

Ответ. Электрическая емкость батареи 18 мкФ; общий электрический заряд и заряды на отдельных конденсаторах 3,96; 0,66; 1,32 и 1,98 мКл; электрическая энергия 436 мДж.

Задача 28. Плоский воздушный конденсатор с расстоянием между шастинами 3 см и площадью каждой пластины 60 см² присоединен с источнику постоянного напряжения 1 кВ. Определить напряженность однородного поля, электрическую емкость, заряд конденсатора и накопленную им энергию. Как изменится емкость конденсатора, если внутрь конденсатора параллельно его пластинам внести металлическую пластину?

Дано: d =3 см=3·10^-2 м — расстояние между пластинами; S =60 см²=6·10^-3 м² — площадь одной пластины: U= 1 кВ=10³ В — напряжение, подведенное к конденсатору; ε₀ =[1/(36 · 10⁹)] Кл²/(Н·м²) — электрическая постоянная.

Найти: Е — напряженность электрического поля в конденсаторе; С - электрическую емкость и Q — заряд конденсатора; W — энергию, накопленную им. Как изменится емкость при введении внутрь конденсатора металлической пластины?

Решение. Напряженность однородного электрического поля

Е = U/d, Е= 10³ В/3·10^-2 м=3,3·10^-4 В/м.

Для плоского конденсатора справедлива формула С=εε₀S/d. Ранее мы условились считать ε_возд«ε₀, поэтому диэлектрическая проницаемость воздуха ε=ε_возд/ε₀ =1, где ε_возд — абсолютная диэлектрическая проницаемость воздуха. Тогда

Зная емкость конденсатора, определим его заряд:

Q=CU, Q =1,8·10^-12Ф·10³ В=1,8·10^-9 Кл=1,8нКл.

Электрическую энергию заряженного конденсатора определим по формуле:

W= QU/2, W= 1,8·10^-9 Кл·10³ В=0,9·10^-6 Дж=0,9 мкДж.

Внесение металлической пластины в поле конденсатора равносильно сближению пластин (поле в металлической пластине отсутствует), поэтому электрическая емкость конденсатора увеличится.

Ответ. Напряженность электрического поля в конденсаторе 3,3·10⁴ В/м; емкость конденсатора 1,8 пФ; заряд 1,8 нКл; энергия 0,9 мкДж.

Задачи для самостоятельного решения: № 9.11-9.15, 9.22-9.24, 9.34-9.38, 9.47, 9.55-9.60, 9.69-9.71, 9.74-9.76, 9.83.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Назовите три способа электризации тел. 2. Как взаимодействуют одноименные и разноименные по знаку заряды? 3. Сформулируйте закон сохранения электрического заряда. 4. Какие тела называются проводниками и какие диэлектриками (изоляторами)? 5. Как распределяются заряды на проводнике? 6. Сформулируйте закон Кулона и запишите его математическое выражение. 7. Что показывает диэлектрическая проницаемость? 8. Дайте определение электрическому полю. 9. Что такое напряженность электрического поля? Каковы ее единицы? 10. Что называется потенциалом точки электрического поля? разностью электрических потенциалов? 11. В чем сущность поляризации диэлектриков? 12. Что такое электрическая емкость? От каких условий зависит емкость проводника? Ее единицы? 13. По каким формулам можно определить электрическую энергию поля конденсатора?

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант (цифры студенческого билета)	Контрольная работа
	1.
	2.
	3.
	4.
	5.
	6.
	7.
	8.
	9.
	10.
	11.
	12.
	13.
	14.
	15.
	16.
	17.
	18.
	19.
	20.
	21.
	22.
	23.
	24.
	25.
	26.
	27.
	28.
	29.
	30.
	31.
	32.
	33.
	34.
	35.
	36.

	Вариант (цифры студенческого билета)	Контрольная работа

Дата добавления: 2014-11-06