Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция 4. Критерий абсолютной устойчивости В.М.Попова




 

Данный критерий, предложенный в 1960 г. румынским ученым В.М.Поповым, позволяет исследовать абсолютную устойчивость нелинейной системы с одной однозначной статической нелинейностью. Под абсолютной устойчивостью понимается устойчивость в целом при любой форме нелинейности, удовлетворяющей условиям

при . (4.1)

Рисунок 4.1

 

Про такие характеристики (рисунок 4.1,а) говорят, что они лежат в угле , или принадлежит классу .

Если равновесие системы (рисунок 4.1,б) абсолютно устойчиво, то оно абсолютно устойчиво и для всех прямолинейных характеристик , где , поскольку эти прямые также относятся к данному классу .

Рассмотрим случай, когда линейная часть устойчива и годограф вектора разомкнутой системы с линеаризованной характеристикой не пересекает отрезка или характеристика не пересекала отрезок действительной оси. В соответствии с критерием Найквиста достаточно этого условия, чтобы замкнутая линейная система была устойчива. Так как , то достаточным условием устойчивости всех линейных систем, принадлежащих к классу , будет условие, чтобы не пересекала отрезка действительной оси .

Для произвольной нелинейной функции из класса достаточное условие абсолютной устойчивости было сформулировано В.М.Поповым. Приведем это условие без доказательства.

Для того, чтобы положение равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью было устойчиво, достаточно выполнение следующих условий.

  1. Существует такое вещественное число , при котором вещественная часть функции Попова будет положительна при всех :

. (4.2)

  1. Функция принадлежит классу .

Для практического применения критерия удобно использовать его геометрическое представление. Для этого предварительно введем видоизмененную частотную характеристику линейной части , связанную с исходной следующими зависимостями:

(4.3)

Особенности видоизмененной характеристики: действительная ее часть равна действительной части исходной характеристики, мнимая равна мнимой части исходной, умноженной на (рисунок 4.2).

 

Рисунок 4.2

 

Теперь перейдем непосредственно к геометрической трактовке критерия В.М.Попова. на основании (4.2)

или

(4.4)

при всех . Это неравенство представляет собой другую формулировку критерия Попова.

При условии

(4.5)

получаем уравнение прямой на . А прямая проходит через точку с координатами с угловым коэффициентом, равным .

Отсюда вытекает графическая интерпретация критерия Попова: для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на плоскости , проходящую через тоску , чтобы вся кривая лежала справа от этой прямой.

 

Рисунок 4.3

 

Рисунок 4.4

 

На рисунке (4.3,а, б) показаны случаи выполнения критерия, а на рисунке (4.4,а, б) – случаи, когда критерий Попова не выполняется.

Как показывает рисунок (4.4,а) достаточное условие устойчивости при произвольной форме однозначной нелинейной характеристики в угле оказывается строже необходимого и достаточного условия устойчивости в случае линейной характеристики в этом угле.

Критерий В.М.Попова распространен на системы с неустойчивой линейной частью:

Система абсолютна устойчива, если через точку можно провести прямую линию, проходящую слева от характеристики .

Здесь - видоизмененная характеристика, исходной для которой является характеристика .

Передаточная функция связана с передаточной функцией следующим соотношением:

.

Здесь – передаточная функция линейной части системы; – передаточная функция линейной части системы с дополнительной обратной связью , которая становится устойчивой за счет соответствующего выбора величины коэффициента передачи .

Fф(x)
y

Рисунок 4.5

 

Достоинство критерия в его графической форме заключается в его применимости:

а) при любой сложности линейной части системы;

б) при наличии только экспериментально снятой характеристики линейной части , которую затем нетрудно перестроить в ;

в) при неизвестном очертании нелинейности и известных лишь пределах угла, в котором она располагается.

Литература 1осн [527-531]; 2осн [346-349]; 6доп [216-219].

Контрольные вопросы

1 Что понимается под абсолютной устойчивостью нелинейной системы?

2 Объяснить принадлежность однозначной статической нелинейности определенному классу.

3 Какие из критериев устойчивости лежит в основе критерия В.М. Попова?

4 Как строится так называемая видоизмененная частотная характеристика линейной части системы.

5 Графическая интерпретация критерия Попова?

6 Как можно распространить применение критерия Попова на системы с неустойчивой линейной частью?

7 Какие преимущества имеет применение критерия Попова в его графической форме?

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-08; Просмотров: 3551; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.