Лекция 8. Исследование устойчивости и качества импульсных САУ

Условия устойчивости линейных импульсных САУ

Как и в непрерывных системах, общее решение разностного уравнения импульсной системы

(8.1)

можно представить в виде суммы частного решения уравнения (8.1) с правой частью и общего решения уравнения без правой части:

. (8.2)

Составляющая описывает вынужденное движение системы, а - переходное движение. Об устойчивости движения системы можно судить по состовляющей , определяемой из решения однородного разностного уравнения

. (8.3)

Общее решение этого уравнения при некратных корнях имеет вид

, (8.4)

где - постоянные коэффициенты, определяемые из начальных условий, а - корни характеристического уравнения

. (8.5)

Решение уравнения (8.4) определяет протекание переходного процесса в импульсной САУ (рисунок 8.1), т.е. дает отдельные значения регулируемой величины в моменты начала каждого периода чередования импульсов. Устойчивой будет такая САУ, в которой эти значения стремятся к нулю при неограниченном увеличении времени .

Рисунок 8.1

Как видно из (8.4) для устойчивости импульсной САУ необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения (8.5) были по модулю меньше единицы.

при . (8.6)

Графически на комплексной плоскости корней это соответствует расположению корней внутри круга единичного радиуса.

Рисунок 8.2

Рассмотрим импульсную САУ (рисунок 8.2). Пусть известна передаточная функция разомкнутой системы

. (8.7)

Передаточная функция замкнутой импульсной системы будет иметь вид

(8.8)

Передаточная функция по ошибке

. (8.9)

Здесь - z – преобразования входной величины, регулируемой величины и ошибки . Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы

(8.10)

Как было показано выше условием устойчивости линейной импульсной САУ будет ограничение по модулю корней характеристического уравнения

. (8.11)

Так например, для характеристического уравнения первого порядка

(8.12)

Очевидное условие устойчивости будет .

Аналогичным образом можно показать, что для уравнения второго порядка

(8.13)

путем вычисления его корней получаются три условия устойчивости:

. (8.14)

Нахождение корней характеристических уравнений высокого порядка связано с большим объемом вычислений. Поэтому для анализа импульсных систем применяются методы, позволяющие судить об устойчивости не вычисляя самих корней.

Критерии устойчивости линейных импульсных САУ.

Критерий Гурвица

Рассмотрим характеристический многочлен

. (8.15)

Критерий Гурвица позволяет оценивать расположение корней характеристического многочлена относительно мнимой оси плоскости комплексного переменного . Однако для исследования устойчивости импульсных систем требуется определить расположение корней характеристического многочлена относительно окружности единичного радиуса в плоскости комплексного переменного . Отсюда следует, что критерий Гурвица можно применить, если выполнить конформное отображение плоскости комплексного переменного на плоскость комплексного переменного таким образом, чтобы единичная окружность перешла в мнимую ось на плоскости переменного , а внутренность единичного круга отобразилась на левую полуплоскость (рисунок 8.3).

Рисунок 8.3

Такое отображение выполняется с помощью дробно – линейного преобразования

, (8.16)

или

.

Выполняя замену переменной в многочлене , получим

, (8.17)

где - многочлен степени от новой переменной :

. (8.18)

Например, при получим

,

где

(8.19)

В результате проведенного - преобразования корни , лежащие внутри единичной окружности, переходят в корни , лежащие в левой полуплоскости. Теперь для исследования корней характеристического многочлена (8.18) применим критерий Гурвица. Для этого составим определитель Гурвица:

. (8.20)

Согласно теореме Гурвица, для того чтобы все корни многочлена имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры определителя (8.20) были положительны:

. (8.21)

При этом, как показано выше, все корни характеристического многочлена лежат строго внутри круга единичного радиуса:

.

Пример. Дано .

Перейдем к переменной в соответствии с формулой (16):

,

где .

Тогда .

.

Следовательно, все корни многочлена лежат внутри единичного круга.

Недостатком рассмотренного подхода к анализу устойчивости является необходимость выполнения - преобразования. В ряде случаев более удобно исследовать непосредственно, характеристическое уравнение (или годограф АФЧХ) импульсных систем.

Алгебраический критерий Шур – Кона

Пусть характеристическое уравнение замкнутой импульсной системы имеет вид

(8.22)

или

. (8.23)

Рассмотрим следующую последовательность определителей, составленных из коэффициентов характеристического уравнения (8.23)

где

, .

Если при нечетном, при четном корни характеристического уравнения (8.23) лежат внутри единичного круга.

Например, определитель первого порядка при равен

.

Определитель второго порядка при равен

Определитель третьего порядка при

равен

.

Пример. Определить устойчивость импульсной системы, характеристическое уравнение которой

.

Составим определители:

Так как , то система устойчива. Действительно, корни характеристического уравнения ; , т.е. по модулю не превышают 1.

Дискретный аналог критерия Михайлова

Пусть характеристическое уравнение импульсной системы имеет вид

. (8.24)

Это уравнение при известных корнях можно записать

. (8.25)

Пусть и , тогда (8.25) будет иметь вид

. (8.26)

Очевидно, что результирующий угол поворота вектора при изменении от до будет равен сумме углов поворота отдельных векторов – сомножителей , где .

Для устойчивой системы все корни расположены внутри круга единичного радиуса, описываемого концом вектора при изменении от до .

Часть корней неустойчивой системы расположены вне единичного круга.

Рассмотрим оба этих случая для одного из сомножителей .

Рисунок 8.1 Рисунок 8.2

Пусть (рисунок 8.1). При изменении в пределах конец вектора описывает окружность единичного радиуса. Конец вектора находится внутри единичного круга. Поэтому угол поворота суммарного вектора равен . Следовательно, каждый корень характеристического уравнения, находящийся внутри единичного круга, обеспечивает приращение суммарному вектору , равное . Поэтому общий угол поворота вектора равен .

Пусть теперь (рисунок 8.2). Конец вектора находится за пределами единичного круга. При изменении от до суммарный вектор повернется на одинаковые углы в положительном и отрицательном направлениях, а результирующий угол поворота будет равен 0. Следовательно, корни , расположенные вне единичного круга, не будет давать приращения к углу поворота вектора и общий угол поворота его будет меньше, чем .

Формулировка критерия: Для устойчивости замкнутой импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы вектор при изменении от до (при ), монотонно возрастая и не обращаясь в нуль, вращался против часовой стрелки, при этом результирующий угол поворота вектора должен равняться , где - степень характеристического уравнения системы.

Дискретный аналог критерия Найквиста

Позволяет исследовать устойчивость замкнутой импульсной системы на основе анализа дискретной передаточной функции разомкнутой системы.

Пусть задана передаточная функция разомкнутой импульсной системы

. (8.27)

Передаточная функция замкнутой системы:

(8.28)

Рассмотрим вспомогательную функцию вида

, (8.29)

где – нули выражения (8.29), т.е. корни многочлена ; - полюсы выражения (8.29), т.е. корни многочлена .

В формальной записи сказанное выглядит следующим образом:

Пусть и , тогда

. (8.30)

Согласно принципа аргумента: 1) если замкнутая система устойчива и все корней лежат внутри единичного круга, то ; 2) если разомкнутая система неустойчива и только часть полюсов равная лежит внутри единичного круга, то .

Тогда

, (8.31)

где - число полюсов, расположенных вне единичного круга.

Выражение (8,31) является условием устойчивости замкнутой импульсной системы.

Полагая , перепишем это условие в окончательном виде:

. (8.32)

Поскольку годограф вектора симметричен относительно вещественной оси, то достаточно построить только половину этого годографа и применить полученное условие устойчивости при .

. (8.33)

Переходя от вспомогательной функции к годографу АФЧХ разомкнутой импульсной системы , можно сформулировать условие устойчивости (8.33) следующим образом:

Для того чтобы замкнутая импульсная система была устойчива, необходимо и достаточно чтобы годограф при изменении переменной в пределах от 0 до обходил точку последовательно в положительном направлении раз, где - число полюсов передаточной функции разомкнутой системы , расположенных вне круга единичного радиуса.

Если, в частности, разомкнутая система устойчива, то . В этом случае: Замкнутая система устойчива, если годограф не охватывает точку при изменении от 0 до .

Примеры годографов устойчивых систем при различных значениях числа приведены на рисунке 8.3.

Рисунок 8.3

В случае нейтральной разомкнутой части критерий формулируется так же как и в случае устойчивой разомкнутой системы, но только для годографа вектора , дополненного дугой бесконечного радиуса, начинающейся на действительной оси. Поскольку характеристика при начинается в бесконечности (рисунок 8.4).

Рисунок 8.4

На рисунке 8.4,б годографы соответствуют устойчивой импульсной системе.

Аналог критерия Найквиста весьма удобен при исследовании устойчивости импульсных систем с известными или экспериментально снятыми частотными характеристиками.

Анализ качества импульсных систем

Качественные показатели характеризуют точность и быстродействие системы. Оценки качества регулирования подразделяют на прямые и косвенные. Прямые оценки качества определяют непосредственно по кривой переходного процесса, а косвенные – расчетным путем.

Анализ точности импульсных САУ

Установившаяся точность импульсной системы может оцениваться при помощи коэффициентов ошибок.

В непрерывных системах при подаче на вход сигнала ошибку определяют как

, (8.34)

где - весовая функция (для сигнала ошибки).

В импульсных системах величина ошибки в дискретные моменты может быть получена из (8.34) при переходе от интеграла к сумме и замене , , на , т.е..

. (8.35)

Разложение в ряд Тейлора функции имеет следующий вид:

. (8.36)

Величину ошибки определяет из

, (8.37)

где коэффициенты ошибки:

.

Суммарные оценки качества

Косвенными оценками качества регулирования импульсной системы, учитывающими не только длительность процесса, но и его форму, могут служить дискретные аналоги интегральных оценок – суммарные оценки.

Простейшая суммарная оценка имеет вид

. (8.38)

Такую оценку используют в случае монотонных переходных процессов (рис. 8.5).

Рисунок 8.5

Линейная суммарная оценка равна заштрихованной площади ступенчатой функции (рисунок 8.5).

В случае колебательных процессов используют квадратичную суммарную оценку

. (8.39)

Формулы для вычисления этой оценки через коэффициенты разностного уравнения, описывающего, динамику импульсной системы имеются в литературе [1доп].

Коррекция импульсных систем

Задача, решаемая на этапе коррекции, состоит в определении КУ, обеспечивающих достаточно хорошее приближение частотных характеристик синтезированной системы к желаемым частотным характеристикам.

В отличии от непрерывных САУ в импульсных системах применяют два способа коррекции – непрерывный и импульсный.

Непрерывная коррекция. В непрерывной разомкнутой САУ при введении последовательного КУ общая передаточная функция имеет следующий вид:

(8.40)

При изменении параметров КУ общая передаточная функция также изменяется и характеристики замкнутой системы можно скорректировать в желаемом направлении.

Наличие процессов прерывания в импульсных САУ обусловливает определенные особенности последовательной коррекции.

Пусть дискретная передаточная функция некорректированной системы равна . При введении последовательного КУ передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

, (8.41)

и

. (8.42)

Следовательно, дискретная передаточная функция скорректированной разомкнутой системы не является простым произведением передаточной функции составляющих звеньев, поскольку результат распространения процесса прерывания через отдельные звенья и не эквивалентен результату распространения такого процесса последовательную цепь из и .

Приближенное представление дискретной части системы в виде непрерывного звена все же позволяет использовать обычные приемы последовательной коррекции, рассмотренные в осеннем семестре.

Импульсная коррекция. Осуществляется включением в контур системы импульсного фильтра. Наиболее простым способом коррекции является введение последовательной цепи в виде ИЭ и НЧ.

Передаточная функция разомкнутой системы будет иметь следующий вид:

(8.43)

Метод коррекции в этом случае не отличается от метода последовательной коррекции непрерывных систем. Передаточную функцию КУ легко получить путем сравнения частотных характеристик желаемой системы с характеристиками некорректированной системы.

Литература 1осн [430-441]; [449-473]; 3осн [93-105]; 5доп [69-84]; 6доп [239-245].

Контрольные вопросы

1 Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных импульсных систем.

2 Можно ли использовать критерий Гурвица для анализа устойчивости линейной импульсной системы?

3 Когда удобнее использовать алгебраический критерий Шур-Кона?

4 Дайте геометрическую интерпретацию дискретного аналога критерия Михайлова.

5 Дайте формулировки дискретного аналога критерия Найквиста, если: а) разомкнутая система неустойчива; б) разомкнутая система устойчива или нейтральна.

6 Какие Вы знаете косвенные методы оценки качества линейных импульсных систем?

7 Какие Вы знаете способы коррекции импульсных систем?

Дата добавления: 2014-11-08