Определение предела функции в точке

Рассмотрим функцию y=f(x). Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точке а, кроме, быть может, самой этой точки а. В точке а функция может быть и неопределенна.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x→ а. Если для любого положительного числа ε, найдется такое положительное число δ, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|x- a |< δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε.

f(x)→A, при х→а.

y f(x)

A + e

A

A - e

0 a-δ a a+δ x

Геометрическая интерпретация.

Возьмем ε– окрестность точки А, интервал (A-ε; А+ε) отложим наоси OY, и будем рассматривать все значения х из окрестности точки а, для которых соответствующие значения функции не выходят из E – окрестности точки А.

Из определения следует, что для любого ε>0, существует δ>0, такое, что для всех точек симметрического относительно а интервала (a-δ;а+δ) х≠а, значение функции не выходит из ε – окрестности точки А.

δ, зависит от ε, δ=δ(ε), чем больше ε, тем δ, вообще говоря, больше.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х→а, если для любой последовательности значений аргумента , сходятся к а, , соответствующая последовательноcть значений функции сходится к числу А.

Последовательность принадлежит области определения функции.

Заметим, что если число А является пределом функции f(x) при х→а, то говорят, что f(x) при х→а имеет конечный предел.

Пример: Функция , при х→0, не имеет предела.

Возьмем последовательность

Функция при х→0 не имеет предела, т.к. по двум различным последовательностям значения х, сходящихся к 0, получаем различные пределы последовательностей значений функции.

Односторонние пределы функции.

Введем понятие левой и правой окрестности точка а.

Определение. Число А является правым пределом функции f(x) при х→а, если для , найдется число δ>0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Определение. Число А является левым пределом Функции f(x) при х→а, если для всех х, удовлетворяющих условию 0< a-x <δ, выполняется неравенство

у

f(x)

А₂

А₁

0 a x

Если а=0, то обозначают пределы слева и права соответственно через f(+0); f(-0).

Теорема Функция y=f(x) при х→а имеет конечный предел А; , тогда и только тогда, когда существует равные односторонние пределы.

Предел функции при стремлении аргумента к ∞.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х→∞, если для любого ξ>0 найдется такое число, М>0, что для всех значений х, , выполняется неравенство .

Предполагается, что функция f(x) определена в окрестности ∞.

Если , то график функции f(x) асимптотически приближается к прямой у=А при стремлении х→∞, как по положительным, так и по отрицательным значениям.

Графически можно представить:

y y

A A

0 0

x x

y y

A A

0 0

x x

Аналогично определяется: .

Определение. Число А является пределом функции f(x) при х→+∞, если

выполняется условие .

Определение. Число А является пределом функции y=f(x) при всех х→-∞, если для такое что, для всех х, x<M, выполняется условие .

Дата добавления: 2014-11-08