Обратная матрица

Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Аналогичное понятие вводится и для квадратных матриц.

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: .

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если является необходимым и достаточным условием существования числа , то для существования матрицы таким условием является требование .

Если определитель матрицы отличен от нуля , то такая квадратная матрица называется невырожденной, в противном случае (при ) – вырожденной.

Алгоритм нахождения вычисления обратной матрицы.

1. Найти определитель исходной матрицы. Если , то матрица – вырожденная и обратная матрица не существует. Если , то матрица – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Найти матрицу , транспонированную к матрице .

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы (, ).

4. Из полученных алгебраических дополнений составить присоединенную матрицу .

5. Вычислить обратную матрицу по формуле .

6. Проверить правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения .

Пример 3.1. Найти обратную матрицу к матрице .

Решение. Найдем определитель исходной матрицы : . Так как , то матрица – невырожденная и обратная матрица существует. Транспонированная матрица к матрице имеет вид .

Найдем алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы: , , , , , ,

, , .

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу : . Вычислим обратную матрицу: .

Дата добавления: 2014-11-25