Формулы наращенной суммы. Годовой аннуитет с начислением процентов m раз в году

P-срочная рента

Годовой аннуитет с начислением процентов m раз в году

Рассмотрим годовую ренту постнумерандо. Проценты начисляются m раз в году. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке)

R, , , …, ,

где j — номинальная ставка процентов.

Мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R, знаменатель — , число членов — n. Сумма членов этой прогрессии равна наращенной сумме аннуитета.

. (2.16)

Для ренты пренумерандо наращенная сумма аннуитета составит:

. (2.17)

Найдём современную стоимость аннуитета постнумерандо

(2.18)

Современная стоимость аннуитета пренумерандо:

. (2.19)

Зависимость между наращенной суммой и современной стоимостью аннуитета постнумерандо следующая

. (2.20)

p -срочная рента, m =1

Найдём наращенную сумму S p -срочной ренты постнумерандо при начислении процентов один раз в году. Общее число членов ренты равно np. Ряд членов ренты с начисленными процентами, записанный в обратном порядке, представляет собой геометрическую прогрессию. Первый её член равен R/p, а знаменатель — (1+ i)^{1/ p}. В результате получаем наращенную сумму:

, (2.21)

где

(2.22)

— коэффициент наращения p-срочной ренты при m= 1.

Для ренты пренумерандо наращенная сумма аннуитета составит:

S ¢ =S (1+ i)^{1/ p} . (2.23)

p -срочная рента, p ³1, m ³1

Это общий случай, когда рентные платежи R/p вносятся p раз в году с начислением процентов m раз в году при условии p¹m. Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/ p года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

.

Второй член ренты к концу срока возрастёт до

и т. д. На последний взнос проценты не начисляются: S_np=R/p. Наращенная сумма S аннуитета находится по формуле суммы первых np членов геометрической прогрессии:

. (2.24)

Для ренты пренумерандо наращенная сумма аннуитета составит:

. (2.25)

p -срочная рента, p = m

Если p=m, то из формул (2.24) и (2.25) получаем:

, (2.26)

. (2.27)

Дата добавления: 2014-11-25