Матеметическая интерпретация теории полезности 1 страница

Повседневная жизнь каждого человека содержит в себе целый ряд задач, в которых необходимо принимать решения о выборе линии поведения, которая оказалась бы наиболее разумной. Попытки исследования и формализованного представления процесса принятия индивидуумом решений предпринимались независимо в различных научных дисциплинах. Принятие экономических решений затрагивает ту сферу деятельности человека, где он может быть рассмотрен как потребитель, человек принимает решение относительно того, сколько и каких товаров и услуг ему приобретать и по какой цене. Одновременно, человек является владельцем тех или иных производственных факторов и здесь его решения касаются того, как наилучшим для себя образом применить свою собственность. Один из основных принципов экономической теории гласит, что лицо, принимающее решение, знание свои интересы и действует таким образом, чтобы максимизировать свое благосостояние. Один из подходов к формализованному представлению процесса принятия решений описывает теория полезности.

Основы современной теории полезности были заложены еще в восемнадцатом столетии. Именно тогда несколько математиков, заинтересовавшись применением теории вероятностей к случайным играм и страхованию, выдвинули принцип, в соответствии с которым благоразумный человек, попав в критическую ситуацию, угрожающую его благосостоянию, должен вести себя так, чтобы максимизировать размер ожидаемого богатства или денежной прибыли.

Потребительские предпочтения и полезность

Следует отметить, что термин «полезность» имеет два различных значения. Первое – это качественная или сравнительная оценка – предпочтение одного объекта другому, второе значение этого термина – количественная оценка предпочтения, выраженная в виде числа. Вообще, представление полезности в виде числа является удобным количественным выражением исходного качественного отношения предпочтения. Учитывая эту двойственность, далее для отображения качественных характеристик будет использоваться термин «предпочтение», а термин «полезность» – для количественного представления предпочтений. Введем следующие обозначения. Символом «>«будем обозначать отношение строгого предпочтения, символ «~«будем использовать для обозначения отношения безразличия. Тогда запись А > Б читается как «А строго предпочтительнее Б или А лучше, чем Б», а А~Б означает, что А и Б с точки зрения некоторого лица совершенно одинаковы, безразличны (читается как «А эквивалентно Б»). Мы будем также использовать отношение «нестрогого предпочтения», которое обозначим как «∏» для описания предпочтений типа «не хуже, чем». Тогда запись Вариант А∏Вариант Б читается как «Вариант А не хуже, чем Вариант Б» или «Вариант А по крайней мере также хорош, как и Вариант Б».

Альтернатива выбора

Пусть элементы некоторого множества X подлежат оценке в терминах предпочтения в некоторой конкретной ситуации, связанной с принятием решения. В зависимости от контекста ситуации элементы множества X могут называться альтернативами, распределениями, наборами товаров, дебитом наличных денег, системами, распределениями, политиками управления, стратегиями и т.д. В любом случае, любой элемент множества X представляет собой один из возможных вариантов для выбора (принятия решения). Для простоты мы везде будем называть возможные варианты выбора альтернативами.

Предположим, что любое возможное решение можно представить себе как набор решений о некотором примитивном выборе – выборе между двумя детерминированными результатами. Например, решение о выборе товаров – набор решений о последовательном выполнении некоторых простых шагов и т.д. Решение об элементарном выборе назовем простой альтернативой.

Простая альтернатива – альтернатива, результатом выбора которой является конкретный (детерминированный) и единственный исход. Обозначим множество всех простых альтернатив через А. Элементы множества простых альтернатив будем обозначать как a_i, т.е. А = { a_i }.

Альтернатива, в результате выбора которой индивидуум получает несколько детерминированных исходов a₁,..., a_k, назовем составной альтернативой. Составные альтернативы могут быть описаны векторами, компоненты которых являются элементами множества А: a =(a₁,..., a_k).

Если в результате выбора некоторой альтернативы лицо сталкивается с целым набором ожидаемых исходов, каждый из которых может реализоваться, но в момент принятия решения о выборе реализация неизвестна, будем говорить об альтернативе, предполагающей риск (или рисковой альтернативе). Исходы рисковой альтернативы являются простыми альтернативами, следовательно, рисковая альтернатива может быть описана при помощи распределения вероятностей на множестве простых альтернатив. Множество рисковых альтернатив обозначим как М.

Элементарные свойства альтернатив потребителя

Сумма альтернатив. Для любых двух альтернатив x и y некоторого потребителя естественно предположить, что существует альтернатива, определенная как сумма z = x + y, элементы которой означают выбор потребителем товара i в количестве z_i = x_i + y_i:

z = x + y, z = (x₁ + y₁,..., x_n + y_n);

Умножение на число. Для каждой альтернативы потребителя x предположение существования альтернативы a*x, имеющей в качестве компонент количества товаров a*x_i, означает, что потребитель может мыслить изменениями «масштабов потребления»:

a*x= (a*x₁,..., a*x_n).

Стоимость альтернативы потребителя. Пусть цены на товары в фиксированный момент времени заданы вектором p= (p₁,...,p_n), pi, i= 1,..., n – цена i -го товара. Тогда стоимость альтернативы x определяется скалярным произведением:

.

Система предпочтений потребителя

Потребитель, принимая решение о выборе той или иной альтернативы, руководствуется соображениями вкуса, правил, привычек и т.д. Совокупность правил выбора альтернативы конкретным потребителям формирует его систему предпочтений – способа указания лучшей из каждой пары альтернатив или указания на то, что альтернативы равны (эквивалентны). Точные определения для отношений предпочтения и систем отношений предпочтения интересующийся читатель может почерпнуть, скажем, в [1]. Сформулируем следующую гипотезу:

Потребительская единица, предпринимая выбор среди доступных ей альтернатив, предполагающих или не предполагающих риск, ведет себя так, как будто

1. Она имеет стойкие предпочтения;
2. Для каждой из альтернатив, не предполагающих риск, предпочтения могут быть выражены числовыми величинами, называемыми «полезностью альтернативы»;
3. Цель потребительской единицы – сделать ожидаемую полезность настолько большей, насколько это возможно.

Ближайшая задача состоит в формализованном представлении данной гипотезы. Пусть на множестве простых альтернатив задана система отношений предпочтения {>, ~}.

Наличие стойкой системы предпочтений. Для любого потребителя будем считать, что он может между собой сравнить любые две простые альтернативы, которые только может представить и указать свои предпочтения. В формализованном виде это можно записать как

1) . Это свойство называют совершенностью системы отношений предпочтения {>, ~}, заданной на множестве А.

Далее, оценки, даваемые человеком различным альтернативам непротиворечивы в том смысле, что если первая альтернатива лучше второй, а вторая – лучше третьей, то для этого человека первая альтернатива лучше третьей:

2) . Это свойство называют транзитивностью системы отношений предпочтения {>¸ ~}, заданной на множестве А.

Кроме того, будем предполагать, что человек всегда способен заменить недостающую альтернативу набором из менее и более предпочтительной:

3) .

Выполнение свойств 1)-3) для системы отношений предпочтения {>¸ ~} означает, что на множестве простых альтернатив данная система отношений задает нестрогий порядок. Это означает, что простые альтернативы потребителя можно расположить как , или в порядке убывания их предпочтения данным потребителем. При этом, наличие групп альтернатив, эквивалентных друг другу (выделены в скобках), вносят в такой порядок элемент не строгости.

Количественная мера предпочтения – полезность. Определим на множестве А вещественно значимую функцию u: A→R следующим образом. Каждой простой альтернативе поставим в соответствие вещественное число, причем чем лучше альтернатива, тем большее число ей соответствует. Иными словами, определяем функцию, сохраняющую порядок на множестве простых альтернатив, заданных системой отношений предпочтения { ¸ ~}.

Определение /Функция полезности/. Вещественнозначная функция u (a), определенная на множестве простых альтернатив, называется функцией полезности индивидуума, если

.

Определение /Полезность простой альтернативы/. Полезностью простой альтернативы a_i ÎA для индивидуума в точке a_i.

Замечания. Определенная таким образом полезность простой альтернативы не является свойством альтернативы, а описывает количественно отношение человека к ней. Кроме того, нет особой необходимости во введении единиц измерения полезности.

Приводим без доказательства следующие важные утверждения. Строгое обоснование данных утверждений интересующийся читатель может обнаружить в [27].

Утверждение. Если система отношений предпочтения на А удовлетворяет свойствам 1)-3), то функция полезности существует.

Утверждение. /Свойства функции полезности на множестве простых альтернатив/. Функция u (x), определенная на XÍR, является функцией полезности потребителя, если она обладает следующими свойствами:

1. v (x)= φ (u (x)) – функция полезности этого же потребителя, для любой φ (t) монотонно возрастающей числовой функции;

2. u (x) – дважды дифференцируемая на X.

Первое свойство означает, что функция полезности потребителя определена неоднозначно (говорят: определена с точностью до монотонно возрастающего преобразования). Не вдаваясь в тонкости, заметим, что это означает, что функций полезности для одного потребителя можно построить много, но графики их будут подобны: имеют экстремумы в одних и тех же точках и обладают одинаковым характером на соответственных интервалах.

Дифференцируемость функции полезности означает, что прирост полезности для некоторого потребителя, вызываемый переходом к близкой, но более ценной альтернативе, пропорционален приросту ценности альтернативы и это вполне естественное предположение. Коэффициент пропорциональности совпадает со значением производной функции полезности рассматриваемой альтернативы (предельная полезность). Вторая производная функции полезности простой альтернативы характеризует такое свойство потребителя, как его индивидуальное отношение к риску. При этом обычно предполагают выпуклость вверх функции полезности, что означает убывание склонности к риску с ростом x. Поясним этот тезис при помощи графической интерпретации, показанной на рисунке 5, при u (x)= a ln x. Два состояния кошелька потребителя представлены точками x₁ и x₂. Любое промежуточное значение может быть описано при помощи параметра 0≤ p ≤1 как x = px₁ +(1- p) x₂. Представим себе, что данному потребителю предложена альтернатива, согласно которой он с вероятностью p получает доход x₁, в остальных случаях (с вероятностью 1- p) – доход x₂ > x₁. Для данного потребителя полезность среднего ожидаемого дохода (соответствует точке M на кривой) больше, чем средняя ожидаемая полезность (точка N секущей) доходов x₁ и x₂.

	u(x)=a ln (x)

px ₁ +(1-p)x ₂

Рис. 5. Иллюстрация убывающей склонности к риску для выпуклой вверх функции полезности потребителя

u(x ₂ ) u(px ₁ +(1-p)x ₂ ) pu(x ₁ )+(1-p)u(x ₂ ) u(x ₁ )

Иными словами, подобный человек предпочтет гарантированно получить средний доход px ₁+(1- p) x ₂ игре, в которой ему предложат вытянуть одну купюру из мешка, в котором p купюр достоинством в x ₁ и (1- p) купюр достоинством в x ₂. Таким образом, лицо, обладающее подобной функцией полезности, демонстрирует свою склонность к определенности. Свойство функции полезности иллюстрировать индивидуальное отношение к риску широко используется в теории риска и страховании [11].

b)

c)

a)

Рассмотрим некоторые примеры функций полезности и проиллюстрируем их свойства. Пусть альтернатива индивидуума состоит из одной компоненты x – величины денежного дохода. Функция полезности индивидуума описывает его отношение к капиталу. Рассмотрим некоторые специальные случаи функций индивидуальной полезности. На рисунках 6 a)-c) представлена графическая интерпретация различных видов функций полезности индивидуума.

u (x)= a^x

Рис.6. Виды функций полезности индивидуума

а). Линейная полезность: u (x)= ax + b, a ³0. Индивидуум, обладающий такой функцией полезности, всегда оценивает прирост капитала пропорционально величине прироста с одним и тем же коэффициентом пропорциональности a вне зависимости от того, сколько денег у него есть – к приросту капитала в размере 1 руб. человек относится одинаково, имея 10 руб. или 10000 руб. Случай a =0 соответствует ситуации, когда величина прироста «богатства» для индивидуума не имеет значения («деньги не имеют смысла»). Такой вид имеют почти все индивидуальные функции полезности для больших значений x – «все, что больше тысячи – миллион». Так как предельная полезность постоянна вдоль всей области определения, ее производная (вторая производная функции полезности) равна нулю.

Замечание. Иногда для системы отношений предпочтения потребителя к свойствам 1)-3) добавляют гипотезу не насыщения, состоящую в том, что больший набор всегда предпочитается меньшему и насыщение невозможно. В этом случае постоянные функции не могут быть функциями полезности.

b1). Логарифмическая полезность u (x)= aln (x), a >0, x >0. Изменение отношения потребителя с такой функцией полезности к приросту капитала описывает функция u ’(x)= a / x, убывающая вдоль всей области определения. Такой потребитель высоко ценит прирост капитала, пока обладает небольшими средствами. Чем больше средств в кармане такого потребителя, тем меньше он заинтересован в увеличении их объема на 1 руб. Вторая производная u ’(x)=- a / x ² отрицательна и возрастает вдоль всей области определения. Это влечет за собой тот факт, что предельная полезность u ’(x) убывает с возрастающей скоростью вдоль всей области определения, а функция полезности потребителя u (x) выпукла вверх. Такая функция полезности характерна для потребителя, обладающего весьма слабой склонностью к риску.

Замечание. Свойство убывания предельной полезности не является строго обязательным для любой функции полезности потребителя. В частности, интуитивно ясно, что люди могут обладать склонностью к риску в описанном выше смысле. Как правило такая ситуация характерна для сравнительно небольших значений x.

b2). Экспонентная полезность: u (x)= a^x. Предельная полезность капитала в этом случае описывается возрастающей функцией u ’(x)= a^x ln a. Лицо с подобной функцией полезности обладает возрастающей склонностью к риску.

c). В общем случае функция, описывающая полезность капитала для индивидуума выпукла вниз для сравнительно небольших величин x (предельная полезность возрастает до некоторой экстремальной величины x ₁), далее, выпукла вверх до некоторого уровня x ₂ и далее постоянна.

Мы определили полезность простой альтернативы потребителя. Для составных и рисковых альтернатив существует достаточное количество различных подходов к определению того, что считать полезностью в каждом из случаев. Наиболее подробно и строго такие подходы обсуждаются в [11] или [26]. Здесь мы приведем подходы к определению полезности составной и рисковой альтернатив, наиболее простые для понимания.

Определение. /Полезность составной альтернативы индивидуума/. Полезностью составной альтернативы a= (a₁, a₂,..., a_n), a_i ÎA, назовем число, получаемое как сумма полезностей простых альтернатив a_i, входящих в ее состав.

Замечание. Определяя таким образом полезность составной альтернативы, мы косвенно предполагаем, что потребитель, всякий раз сталкиваясь с составной альтернативой, предпринимает последовательный независимый выбор между ее компонентами. Если в контексте рассматриваемой задачи предположение взаимной независимости компонент принятия решения не соответствует рассматриваемой ситуации, подобный подход к определению полезности составной альтернативы не приведет к адекватным результатам.

Другой подход основан на следующих соображениях. Определяется вещественно значная функция n переменных u (a₁,..., a_n) таким образом, что для каждой переменной a_i при фиксированных значениях остальных переменных функция u (a_i) (получится функция одной переменной) есть функция полезности простой альтернативы. Такую функцию называют функцией полезности индивидуума на множестве составных альтернатив длиной n. Тогда полезностью составной альтернативы a= (a₁, a₂,..., a_n)называют значение функции u (a) в данной точке.

Безусловным достоинством первого подхода к определению полезности составной альтернативы является ее простота. Второй подход менее ограничивает класс допустимых задач, но содержит проблемы, связанные с получением функции u (a). Мы будем придерживаться далее именно этого подхода.

Простая графическая интерпретация функций полезности потребителя возникает, если рассматривать X=R² – потребительские альтернативы имеют две компоненты. Функция полезности в этом случае геометрически представляет собой поверхность в трехмерном пространстве, линии уровня u (x ₁, x ₂)=const которой являются кривыми в исходном пространстве R². Уравнения, задающие линии уравнения функции полезности потребителя, имеют очень наглядную смысловую нагрузку – наборам x =(x ₁, x ₂) потребитель отдает одинаковое предпочтение. Множества таких наборов называют кривыми безразличия.

Свойства функции полезности индивидуума

Эквивалентность альтернатив

Определение. /Поверхность и кривая безразличия/. Множество называется поверхностью безразличия потребителя. Множество всех кривых безразличия называют кривыми безразличия. Множество всех кривых безразличия образует карту кривых (поверхностей) безразличия.

На рисунке 7 изображена функция полезности потребителя, альтернативы которого описываются независимыми компонентами x и y, определенная как . Ее кривые уровня изображены на рисунке 8.

Рис. 7. Пример функции полезности потребителя в пространстве двух товаров

Рис. 8. Карта кривых безразличия функции полезности u(x,y)=ln xy

Кривые безразличия функции полезности и эквивалентная замена товаров

По определению поверхности безразличия, для всех альтернатив x ÎD, дифференциал функции полезности потребителя равен нулю:

(4)

Используя соотношение (4), для любых двух товаров x_i и x_j из набора x= (x₁,..., x_n) можно определить величину, количественно описывающую возможность взаимной замены этих товаров для данного потребителя. Действительно, пусть уровень потребления всех товаров, альтернативы x, кроме i- го и j- го, постоянен. Тогда для определения возможности количественного оценивания взаимной замещаемости товаров ищем ответ на следующий вопрос. Какое количество i- го товара может заменить dx_j единиц j- го товара, не изменив при этом полезности альтернативы потребления? Ответ определяется на основе следующих соображений. Полезности исходной альтернативы , получаемой при замене j- го товара i- м равны, следовательно, взаимная замена товаров возможна для альтернатив, определяющих поверхность безразличия функции полезности данного потребителя. Далее, уровень потребления всех товаров, кроме i- го и j- го постоянен и, следовательно, для поверхности безразличия имеем

(5)

Обозначим как

(6)

коэффициент пропорциональности в выражении (5). Он представляет собой величину нормы эквивалентной замены j- го товара i- м – какое количество товара i эквивалентно заменяет единицу j- го товара, не меняя полезности получаемой альтернативы потребления.

Пусть альтернатива потребителя имеет две компоненты x и y. Предпочтения потребителей A, B и C описывают функции полезности

.

	U(x,y)=Min{x,y}

U(x,y)=x^(1/2)+y^(1/2)

U(x,y)=ye^x

Рис.9. Кривые безразличия потребителей А, В и С примера 6.

Нормы эквивалентной замены товара y товаром x для потребителей A, B и C, согласно формуле (6) определяется как . Потребитель A легко может заменить дефицитный товар y некоторым количеством товара x на каком бы уровне ни находилось при этом его текущее потребление (x, y). Для него норма эквивалентной замены товара y товаром x убывает с ростом x, что означает, что с ростом уровня текущего потребления x его требуется для замены единицы товара y меньше. В частности, при текущем потреблении (16, 25) норма эквивалентной замены составит 5/4, увеличение потребления x на 9 единиц приводит к уменьшению нормы эквивалентной замены товаров до 1.

Для потребителя B вопрос эквивалентной замены товаров решается в зависимости от текущего уровня потребления – при x > y норма эквивалентной замены товара y товаром x равна нулю. Такая ситуация соответствует достижению предела насыщения товаром y. С другой стороны, если потребность в товаре y удовлетворяется на минимальном уровне (x > y), то никакое увеличение потребления товара x не может компенсировать уменьшение потребления y. Норма эквивалентной замены товаров равна бесконечности.

Потребитель C заменяет единицу потребления товара y обратно пропорционально его текущему уровню потребления вне зависимости от уровня потребления товара x. В частности, если текущий уровень потребления составляет (10, 12) и две единицы товара y являются дефицитными, то их заменит товар x в количестве ∆ x =-1/ y ∆ y =(1/12)*2=1/6.

Частные производные функции полезности потребителя и их смысл

Существование первой производной функции полезности означает следующее. Пусть величина начального уровня потребления товаров составляет x ₀=(x ₁⁰,..., x _n⁰) и у потребителя есть возможность увеличить (уменьшить) уровень потребления j- го товара на величину ∆ x_i (уровень потребления остальных товаров при этом неизменен). Общий прирост потребления описывает вектор ∆ x =(0,…,0, ∆ x_i,0,…,0). Отношение потребителя к изменению потребления ∆ x описывает приращение функции полезности ∆ u = u (x ₀+∆ x) – u (x ₀), соответствующее приращению ∆ x. В силу предположения дифференцируемости функции полезности вдоль всей области определения, приращение функции ∆ u пропорционально приращению переменной и его можно записать как

,

где lim o(∆ x)=0 (∆ x →0). Таким образом, первые частные производные, называемые предельными полезностями i- го товара, описывают отношение потребителя к приросту объема потребления остальных товаров. Предположение, состоящее в том, что потребитель увеличению объема потребления товара придает по крайней мере не меньшую ценность, соответствует тому, что коэффициент пропорциональности прироста уровня потребления неотрицательная величина. Иными словами, .

Вторые частные производные описывают скорость изменения предельных полезностей каждого их товаров.

Подходы к определению полезности рисковой альтернативы базируются на одной платформе. Как уже было замечено выше, всякая рисковая альтернатива ассоциирована с вероятностным распределением ожидаемых исходов, являющихся по своей природе простыми альтернативами. Для каждой простой альтернативы ее полезность u (a) определена. Тогда числовые характеристики случайных величин полезностей ожидаемых исходов могут послужить оценками полезности рисковой альтернативы.

Дата добавления: 2014-11-25