Матеметическая интерпретация теории полезности 2 страница

Определение. /Средняя ожидаемая полезность рисковой альтернативы/. Для рисковой альтернативы X, заданной распределением F_x (x) на [ a, b ] величина называется ее средней ожидаемой полезностью.

Замечание. Пусть индивидуум стоит перед выбором между рисковой XÎM и простой a ÎA альтернативами. Пусть также известно, что u (a)=U(X) – полезность простой альтернативы равна средней ожидаемой полезности рисковой альтернативы. Если данный индивидуум при этом принимает решение в пользу X, то он пренебрегает риском (говорят – «склонен к риску»), если его выбор – простая альтернатива, то он склонен к определенности.

Цель потребительской единицы. Предпринимая решение о выборе альтернативы, потребитель из доступных возможностей выбирает ту, полезность которой максимальна. Доступные для потребителя альтернативы определяются его индивидуальным доходом. Обозначим доход потребителя в фиксированный момент времени как K. Стоимость альтернативы потребителя не должна превосходить величины его текущего дохода. Формализовано это условие записывают как < x, p >≤K и называют бюджетным ограничением потребителя. Множество альтернатив x ÎX, удовлетворяющих бюджетному ограничению потребителя называют его допустимым множеством или множеством допустимых альтернатив. Из допустимых альтернатив оптимальными для потребителя являются те, для которых полезность u (x) максимальна. Таким образом, задача оптимизации потребительского выбора в формализованном виде представляет собой задачу математического программирования

(8)

Резюме. Каждый потребитель основывает свои решения на базе присущей ему системы предпочтений, обладающей свойствами совершенности, транзитивности и рефлективности на множестве альтернатив потребителя. Существует количественная мера предпочтения данным потребителем одной альтернативы другой, называемая «полезностью альтернативы» и определяемая при помощи индивидуальной функции полезности. Задача принятия решения о наилучшем выборе сводится к поиску альтернатив, максимизирующих функцию полезности потребителя на множестве его допустимых возможностей. Если функция полезности потребителя известна, то определение индивидуального спроса (альтернатива потребителя представляет собой его спрос на товарный набор x) сводится к решению соответствующей задачи математического программирования. Таким образом, для решения задачи определения индивидуального спроса осталось выяснить, каким образом может быть получена функция полезности.

Исследование функции индивидуального спроса

В основе построения моделей личного потребления лежит принцип распределения всех семей по группам, для формирования которых используются данные по дифференцированному распределению семейных бюджетов. Согласно этому принципу все население рассматривается как совокупность нескольких групп семей, однородных по уровням доходов и критериям принятия потребительских решений: каждая из семей группы характеризуется определенным уровнем доходов и особенностями потребления (критерием эффективности в принятии решений о потребительском выборе).

Будем считать, что некоторый потребитель является представителем однородной потребительской группы, характеризующейся функцией полезности u (x) и уровнем дохода K. Тогда индивидуальный спрос на товары, предъявляемый данным потребителем, представляет собой решение задачи (8).

Для задачи потребителя (8) предположим, что параметры p и K являются переменными величинами. Вектор цен p =(p ₁,..., p _n) в качестве компонент имеет неотрицательные вещественные числа, поэтому можно считать, что область изменения для p составляет Rⁿ₊. Доход потребителя K удобно считать неотрицательной вещественной величиной, следовательно, K ÎR₊. Ближайшая задача состоит в исследовании зависимости решения x * задачи (8.1.4.) от значений p и K. Определим функцию D (p;K) следующим образом. Произвольной паре (p ’; K ’), p ’Î Rⁿ₊, K ’Î R₊ ставится в соответствие x *(p ’; K ’) – решение задачи (8) при условии фиксированных значений ее параметров на уровне p ’, K ’.

Определение. /Функция индивидуального спроса/. Функция D (p;K); Rⁿ₊´ R₊→ Rⁿ₊ , ставящая в соответствие паре (p =цены на товары, K =доход потребителя) альтернативу x *, доставляющую потребителю максимальную полезность при условиях (p;K), называется функцией индивидуального спроса:

D (p;K) = x * = (x ₁*(p;K);…; x _n*(p;K))

Замечание. Функции спроса выражает зависимость спроса одного потребителя фиксированной потребительской группы населения на все виды товаров от уровней цен на все потребляемые товары и величины дохода в данной потребительской группе.

Функция индивидуального спроса представляет собой незначное отображение (вектор-функция x *) n+ 1 переменных p, K. Компонентами вектор-функции D_i (p;K) являются функции покупательского спроса x _n*(p;K) на определенный товар от цен на все товары и дохода потребителя. Значения функции спроса являются размерными величинами, поэтому никакие арифметические операции, а также сравнения спроса потребителя по разным компонентам x производиться не должны.

Конкретная форма функций индивидуального спроса может находиться как на основе решения оптимизационной задачи, так и путем статистической обработки результатов наблюдений.

Свойства функции индивидуального спроса

1. Функции D_i (p;K) – непрерывны и дважды дифференцируемы по всем переменным. Предположение непрерывности (малые изменения цен и дохода влекут за собой малые изменения количественных параметров спроса) естественным образом вытекает из определения функций индивидуального спроса. Частные производные функций индивидуального спроса характеризуют свойства товаров как объектов покупательского спроса: производные по доходу K характеризуют «ценность» товара для потребителя, производные по ценам p_i типизуют товары по эффективности их для потребителя.

2. Функция индивидуального спроса является однородной функцией нулевой степени однородности. Это означает, что пропорциональное изменение цен и дохода не изменяет абсолютной величины спроса потребителя ни по одному из видов товаров. Формализовано, свойство однородности функций индивидуального спроса может быть записано следующим образом:

.

Остановимся подробнее на экономическом смысле производных функции индивидуального спроса.

Изменение спроса при изменении индивидуального дохода потребителя

Пусть в некоторый момент времени цены на товары сложились на уровне p*, а потребитель в это время характеризуется доходом в К* денег. Предположим, что величина текущего дохода потребителя может быть увеличена на ∆ К денег. Потребитель некоторым образом перераспределит эти средства на увеличение потребления товаров, базируя свои решения на индивидуальной системе предпочтений. Изменению абсолютной величины спроса на i -й товар при этом соответствует приращение функции ∆D_i(p*;K*)=D(p*;K*+∆K) – D(p*;K*), а величина показывает, какая часть изменения спроса на i -й товар приходится на одну денежную единицу измерения дохода – показатель средней скорости изменения спроса на данный вид продукции при росте индивидуального дохода. Предел данного отношения при ∆K→ 0 по определению является частной производной функции D_i (p;K), взятой в точке (p*;K*)

,

а смысловая нагрузка остается прежней – доля изменения индивидуального спроса на i -й товар, приходящаяся на единицу изменения дохода потребителя от его текущего значения К* при условии фиксированного уровня цен p* на все товары.

Пусть для некоторого товара i частная производная по доходу . Это означает, что функция индивидуального спроса D_i (p;K) убывает в точке (p*;K*), что спрос на этот товар с ростом дохода потребителя убывает. Следовательно, ценность такого товара для данного потребителя невелика. К таким товарам относят – среди продуктов питания – хлеб, картофель, низкокачественные жиры, среди промышленных товаров – устаревшие и низкокачественные модели одежды и обуви. Для большинства товаров первые производные функций индивидуального спроса по доходу положительны.

На основе классификации по характеру изменения спроса в зависимости от величины дохода К товары разделяют на ценные и малоценные, или, как их еще называют, товары высшего и низшего ряда. Товар называется ценным для потребителя (группы потребителей), если , т.е. индивидуальный спрос на него растет по мере увеличения уровня дохода потребителей, характеризующихся функцией индивидуального спроса D_i (p;K).

Для малоценного товара имеет место противоположное неравенство , что означает вытеснение этого товара из потребительского набора рассматриваемого класса потребителей по мере увеличения их дохода.

Изменение спроса с изменением цен

Для определения реакции индивидуального спроса на товары при изменении цен проводят рассуждения, аналогичные случаю определения реакции спроса на изменение дохода. Частная производная функции индивидуального спроса на i -й товар, рассчитываемая в точке (p*;K*), определяется как

и означает предельную долю изменения индивидуального спроса на i -й товар, соответствующую изменению цены j- го товара на «малую величину» при условии постоянства цен на остальные товары на уровне p* и дохода потребителя на уровне К*. Иными словами, частные производные функций индивидуального спроса по ценам характеризуют свойства эффективности товара для потребителей.

Действительно, пусть для j- го товара . Это означает, что спрос на данный товар падает с ростом его цены. Такие товары называют «нормальными». При этом существуют товары, для которых выполнено противоположное неравенство, или спрос на которые в некоторой потребительской группе растет, несмотря на увеличение цены. Такая ситуация связана с тем, что при повышении цены на малоэффективный товар малообеспеченный потребитель оказывается не в состоянии приобретать товары с еще более высокими ценами и вынужден компенсировать недостаток за счет приобретения большего количества малоэффективных товаров. Такие товары называют аномальными или товарами Гиффина. [28].

Классификация товаров по знакам частных производных лежит в основе многих методов построения статических функций спроса.

Остановимся подробнее на формализованном представлении свойств индивидуального спроса.

Зависимость спроса потребителя от изменения дохода

Локальные изменения величины индивидуального спроса при изменениях величины дохода потребителя могут быть количественно описаны при помощи частных производных функции спроса, как это было отмечено выше. В более общем случае для описания характера изменения величины индивидуального спроса требуется проведение более детального анализа. Напомним, что функция индивидуального спроса определяется как решение задачи оптимизации потребительского выбора (8). Кроме того, решение этой задачи x^*= (x₁^*,...,x_n^*) может быть получено путем решения системы уравнений

(9)

относительно n+ 1 неизвестных: x₁,..., x_n, описывающих абсолютные величины текущего спроса на товары и множителя Лагранжа l.

Пусть теперь К – параметр правой части ограничения задачи (8) описывающий размер текущего дохода потребителя, является переменной величиной, а цены p на товары фиксированы. Функции индивидуального спроса на i -й товар в этом случае являются функциями переменной К, а их производные по К описывают характер изменений спроса при изменениях дохода. Дифференцируя уравнения системы (9) по К, получим следующее:

(10)

Обозначим как и перепишем систему (10) в виде:

(11)

При известной функции полезности и заданном уровне цен (11) представляет собой систему линейных относительно производных функций индивидуального спроса на i -й товар в точке уравнений. Ее матричное представление выглядит как

. (12)

При условии, что определитель системы (12) не равен нулю (обозначим его как D), решение ее может быть найдено по правилу Крамера как

;

,

где как ∆_ij обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов ∆, а ∆ − определитель системы.

Вектор, компонентами которого являются частные производные функции спроса D_i(p;K), i= 1,...,n по доходу K отражает реакцию потребителя на изменение дохода.

Зависимость спроса от изменения цен. Эффект замены

Будем проводить рассуждения аналогично тому, как это было сделано для случая описания эффекта дохода. Компоненты вектора индивидуального спроса D_i(p;K) − решение задачи (7) могут быть найдены из системы уравнений (9). Частные производные компонент вектора индивидуального спроса могут быть дифференцированием соотношений (9) по p_k:

Используя введенные выше обозначения для вторых производных функции индивидуальной полезности x*, полученную систему уравнений можно записать следующим образом:

Данная система уравнений решается для величин частных производных компонент индивидуального спроса x_i=D_i (p; K) по ценам p_k, относительно которых она является линейной (системой линейных алгебраических уравнений). Матрица системы совпадает с матрицей системы (11), а правая часть описывается вектором-столбцом (0,…0,λ,0, -x_k). В случае, если определитель ∆ матрицы системы отличен от нуля, решение системы уравнений может быть найдено при помощи правила Крамера следующим образом:

Последнее равенство получено разложением определителя, стоящего в числителе, по j- му столбцу. Заметим, что в правой части полученного выражения величина определена выше как значение частной производной j- ой компоненты спроса по доходу, т.е. . Следовательно, частная производная j- ой компоненты индивидуального спроса по цене K- го товара выражается как

(15).

Выражение (15) носит название уравнения Слуцкого и интерпретируется следующим образом. При изменении цены K- го товара на малую величину характер изменения спроса на j- й товар формируется как сумма двух факторов: эффектов замены и дохода. Второе слагаемое – (эффект дохода) – описывает рост (снижение) реального дохода потребителя, вызываемого снижением (ростом) цены k- го товара. Первое слагаемое – (коэффициент Слуцкого) – показывает влияние изменения цены на вызываемую им замену товаров при покупке. Экономический смысл его состоит в следующем. При снижении цены на k- й товар у потребителя происходит рост дохода, часть которого распределяется на покупку других товаров. Матрица из коэффициентов Слуцкого имеет размер n×n и симметрична: c_kj=c_jk. Диагональные элементы этой матрицы выражают чистый эффект замещения и показывают скорость изменения спроса на k- й товар при малых изменениях его цены и изменениях номинального дохода потребителя, производимого таким образом, что полезность потребительской альтернативы остается неизменной. Направление изменения спроса на j- й товар при компенсированном (путем изменения номинального дохода) изменении цены k- го товара определяется знаком соответствующего коэффициента Слуцкого. Так, если c_kj >0, товары k и j принято считать взаимозаменяемыми c_kj <0 – взаимодополняемыми, а при c_kj =0 – независимыми. Графическое представление эффектов замены и дохода приведено выше.

Коэффициенты эластичности функции спроса

На практике использование частных производных функции спроса для анализа и прогнозирования поведения потребителя осложняется, в первую очередь, несопоставимостью одноименных показателей для разных видов товаров – величины спроса на каждый вид товаров измеряются в разных физических единицах: тоннах, литрах, штуках и т.д. Следовательно, приращения величин спроса также размерны. Этот недостаток отсутствует у коэффициентов эластичности, определяемых следующим образом. Назовем средней производительностью цены j -го товара в спросе на k -й товар долю этого спроса, приходящуюся на единице цены: (таким же образом определяется средняя производительность дохода в спросе на товар). Аналогичные предельные характеристики уже определены и им соответствуют частные производные функций спроса. Тогда коэффициент эластичности (частный) k -го товара по цене j -го товара определяют как отношения предельного изменения спроса, вызванного изменением переменной p_j (при условии фиксированных уровней для прочих переменных) к среднему:

(16)

Предельные и средние характеристики спроса имеют одни и те же единицы измерения, следовательно, их отношение безразмерно и, таким образом коэффициенты эластичности могут использоваться для сравнительного анализа спроса на различные виды товаров. Экономический смысл коэффициентов эластичности прост и следует непосредственно из формулы (16): E_kj показывает, сколько процентов изменения спроса () на k -й товар приходится на один процент изменения цены j -го товара () (аналогичный смысл имеют коэффициенты эластичности спроса по доходу).

Замечание. Коэффициенты эластичности являются относительными показателями, то есть зависят от первоначальных значений спроса, дохода и цен.

Дата добавления: 2014-11-25