Пример решения задачи 3.2

Дано: m=40 кг, v₀=10 м/с, t₂=8 с, Р₀=0, t₃=12 с, Р₁=250 Н, Р₂=300/200 Н, α=30°, f=0,1.

Определить v₁, v₂, v₃ и t₁, t₂, t₃.

Решение

Покажем силы, действующие на тело (рис. 3.3): вес , нормальную реакцию плоскости , силу и силу трения скольжения , направив её противоположно начальной скорости, т.е. вниз по наклонной плоскости.

Построим график Р=Р(t) по заданным значениям Р₀, Р₁, Р₂, Р₃ (рис. 3.4)

Рис. 3.4.

1. Для тела, принимаемого за материальную точку, составим уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения в проекциях на ось Х для промежутка времени от 0 до t:

mv_1x - mv_ox = ΣS _ix;

где ΣS _ix=Gt₁ - Ft₁ + S_px.

Проекция импульса переменной силы Р за t₁ с:

S_px= .

Этот интеграл определяется как площадь треугольника ОВМ на графике Р=Р(t):

S_px= =375Н с

Учитывая, что сила трения скольжения F=fN=fG cosα, получаем уравнение (1) в следующем виде:

mv_1x-mv_0x=-gt₁ sinα-fg cosα t₁+375,

откуда

v_1x=v_0x-gt₁ sinα – fg cosα t₁+ ,

т.е. v_1x=10-9,81 3 0,5-0,1 9,81 0,87 3+ =10-14,72-2,76+9,38=2,10 м/с,

таким образом, v₁= v_1x=2,10 м/с.

2. Для определения скорости тела в момент времени t₂ составим уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения, для промежутка времени t₂-t₁:

mv_2x- mv_1x= ΣS_ix

где ΣS_ix=-G(t₂-t₁) - F(t₂-t₁) + S_px.

Проекция импульса переменной силы Р за (t₂-t₁) с выражается площадью трапеции МВСL S на графике Р=Р(t):

S_px= - =1375 Н

Поэтому уравнение имеет вид

mv_2x-mv_1x=-mg(t₂- t₁) sinα -fmg cosα(t₂- t₁)+1375,

откуда

v_2x=v_1x-g(t₂- t₁) sinα – fg cosα(t₂- t₁)+ =

=2,10-9,81 0,5-0,1 9,81 0,87 5+ =2,10-24,52-4,27+34,38=7,68 м/с.

Таким образом,

v₂=v_2x=7,68 м/с.

3. Уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения и составленное для промежутка времени t₃-t₂, дает возможность определить скорость тела v₃ в момент t₃:

mv_3x-mv_2x= ΣS_ix

где ΣS_ix=-G(t₃-t₂) - fG cos (t₃-t₂)+S_px.

Проекция импульса переменной силы Р за (t₃-t₂) с выражается площадью трапеции УDEK:

S_px= =700 Н

тогда v_3x=v_2x-g(t₃- t₂) sinα – fg cosα(t₃- t₂)+ =

=7,68-9,81 0,5-0,1 9,81 0,87 4+ =7,68-19,62-3,41+17,5=2,15 м/с.

Таким образом, v₃=v_3x=2,15 м/с.

Задача 3.3.

На звено 1 механизма, угловая скорость которого равна , с некоторого момента времени (t=0) начинает действовать пара сил с моментом M (движущий момент) или движущая сила Р.

Массы звеньев 1 и 2 механизма равны соответственно m₁ и m₂, а масса поднимаемого груза 3 – m₃. Момент сил сопротивления вращения ведомого звена 2 равен М_С. Радиусы больших и малых окружностей звеньев 1 и 2: R₁, r₁, R₂, r₂.

Схемы механизмов показаны на рис.3.5, а необходимые для реше­ния данные приведены в табл.3.3.

Haйти: уравнение вращательного движения звена механизма, указанного в последней графе табл.3.3. Определить также натяжение нитки в заданный момент времени, а в вариантах, где имеется соприкасание звеньев 1 и 2, найти, кроме того, окружное усилие в точке их касания. Звенья 1 и 2, для которых радиусы инерции и в табл.3.3 не заданы, считать сплошными однородными дисками.

Рис.3.5.

Таблица 3.3.

Цифра шифра

1-я цифра шифра

2-я цифра шифра

3-я цифра шифра

Номер схемы

m1, кг

m2, кг

m3, кг

R1, см

r1, см

R2, см

r2, см

iх1*, см

iх2*, см

M1, Нм

P1, Н

Mс, Нм

w10, с^-1

t1, с

*

2100+20t

-

-

1800+40t

t

0.5

20

t

3000+100t

0.5

2.5

-

2700+200t

1.5

-

5500+200t

20

4800+10t

-

-

3000+100t

-

9700+50t

-

5900+30t

-

-

-

500+100t

1.5

Примечание:

1. Звёздочками (xx) обозначено звено, для которого нужно определить уравнение вращательного движения.
2. Радиусы инерции звеньев 1 и 2 i_X1, и i_X2, заданы относительно осей вращения этих звеньев.

Дата добавления: 2014-11-25