Признак монотонности функции

Лекция 6. Исследование функции с помощью производной.

Функция , определенная на некотором промежутке, называется возрастающей на этом промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. если , то .

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если меньшему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. если , то .

Например, функция убывает, если , и возрастает, если . Функция, только возрастающая или только убывающая на промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Достаточное условие возрастания функции выражает следующая теорема: если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка, то она возрастает на этом промежутке.

В самом деле, пусть и . Докажем, что . Для функции на отрезке выполняется условие теоремы Лагранжа, поэтому , где . Так как , то и , также , поэтому , т.е. .

Достаточное условие убывания функции выражает теорема: если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка, то она убывает на этом промежутке.

Отметим, что необходимое условие возрастания или убывания функции лишь утверждает, что производная неотрицательная или неположительная.

Если функция возрастает на некотором промежутке, то геометрически это означает, что касательные к графику на этом промежутке образуют острые углы с осью абсцисс, а если убывает, то тупые.

Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти, на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, т.е. решить неравенства – для возрастания или – для убывания. Например, найти промежутки монотонности функции . Имеем , , если , то есть и , если . Итак, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

Дата добавления: 2014-11-26