Лекция № 5

Правила нахождения производных. Таблица производных.

На практике производные функций находят с помощью ряда правил и таблицы производных основных элементарных функций. Пусть функции и имеют производные и . Основные правила дифференцирования следующие:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Пусть - сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом . Производная сложной функции по аргументу находится по формуле .

Таблица производных основных элементарных функций.

1. С′=0; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. ; 13. ;

14. ; 15. ; 16. .

Приведем примеры нахождения производных следующих функций:

1) (5+ х ³+3 х ²+ + )′=3 х ²+6 х + + ;

2)

.

3) .

4) (sin(2 x ²-5))′= (2 x ²-5)(2 x ²-5)′= (2 x ²-5).

3. Дифференциал функции.

Пусть функция имеет отличную от нуля производную . Следовательно, по свойству предела можно записать , где при .гдео записать некоторой точке ак функция функций:оизводная - ускорение. Умножая все члены полученного равенства на , получим: . Слагаемое называют дифференциалом функции в точке и обозначают .

Найдем дифференциал функции . В этом случае и, следовательно, . Таким образом, дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением . Поэтому дифференциал функции можно записать так: .

Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Приведем примеры нахождения дифференциалов для функций:

1. (sin 5 x) = (sin 5 x)¢ × = 5 ×

2. (5 x ² – 7 x + 3) = (5 x ² – 7 x + 3)¢ × = (10 x – 7) × .

Дифференциал функции при малом по абсолютной величине приращении может применяться для приближенных вычислений. Для этого используют формулу:

,

которая следует из приближенного равенства .

Например, найти приближенное значение . Имеем

15,8 = 16 – 0,2; х ₀ = 16; = –0,2; f (x) = ;

.

По формуле получим:

»

Дата добавления: 2014-11-26