Основные сведения о дифференциальных уравнениях

Дифференциальным уравнением называется всякое соотношение между независимыми переменными, функцией от них и производными этой функции по этим переменным. Исследование закономерностей экономических процессов часто приводит к построению моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных. В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

В общем случае такие уравнения можно записать в виде:

,

где есть функция аргумента , а – производные этой функции. К дифференциальным уравнениям, относятся уравнения, связывающие дифференциалы независимой переменной и функции от неё. Например: .

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, входящей в уравнение. Так, например, уравнения и первого порядка; уравнения и второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество. Например, функция , где , является решением дифференциального уравнения первого порядка , так как .

Компактная запись всех решений дифференциального уравнения называется его общим решением. Так, – общее решение уравнения . При различных значениях получаем частное решение. Например, – частное решение уравнения , когда . Общее решение дифференциального уравнения задает семейство кривых на координатной плоскости.

Часто при решении дифференциального уравнения требуется найти некоторое частное решение, удовлетворяющее каким-то дополнительным данным, которые называются начальными условиями. Начальные условия для дифференциального уравнения n -го порядка представляют собой значение функции и её производные до порядка включительно при заданном значении аргумента , ,…, . Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Дата добавления: 2014-11-26