Основные сведения о дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами

Второго порядка с постоянными коэффициентами

Лекция 12. Однородные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где и – действительные числа, – некоторая функция.

Если , то уравнение называется однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, в противном случае, если , неоднородным.

Пусть и два частных решения уравнения . Покажем, что линейная комбинация является решением этого уравнения. В самом деле, подставив эту комбинацию в уравнение, получим:

.

Это свойство частных решений позволяет из двух известных частных решений комбинировать общее решение, но при этом надо брать только линейно независимые частные решения.

Итак, общее решение уравнения имеет вид

,

где и – линейно независимые частные решения. В этом состоит содержание теоремы о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Дата добавления: 2014-11-26