С постоянными коэффициентами. Дифференциальных уравнений второго порядка

Дифференциальных уравнений второго порядка

Примеры решения однородных

Рассмотрим примеры решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Его корни и . Общее решение уравнения имеет вид:

.

Пример 2. Решить уравнение и найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , и .

Решение. Характеристическое уравнение:

имеет равные корни , поэтому общее решение будет иметь вид:

.

Выделим из общего решения искомое частное. Для этого подставим начальные данные , в общее решение: , откуда .

Дифференцируя общее решение, получим:

, .

В полученное выражение подставляем начальные данные , , найдем, что . Учитывая, что , получим .

Таким образом, искомое частное решение будет иметь вид: .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение

имеет мнимые корни . Здесь, а поэтому общее решение будет иметь вид:

.

Дата добавления: 2014-11-26