Первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

,

если , то уравнение однородное.

Решение уравнения можно находить различными методами. Рассмотрим один из них, в котором решение ищем в виде (метод Бернулли). Подставляя в уравнение значения и , получим или . Находим какое-либо частное решение уравнения . Тогда функция является решением уравнения , где уже найдено.

Итак, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными. Например, решить уравнение:

.

Пусть , тогда . Подставляя и у’ в уравнение, получим:

,

,

.

Приравняем к нулю выражение в скобках, найдем функцию v:

,

,

.

Интегрируем полученное выражение:

,

,

откуда v = x. Подставив v в уравнение , находим u:

,

,

.

Интегрируя, получаем, что

.

Тогда решение исходного уравнения имеет вид:

.

Дата добавления: 2014-11-26