Дифференциальные уравнения первого порядка

с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющими переменными, если его можно представить в виде

.

В этом уравнении заменим производную отношением дифференциалов , получим

Для отыскания решения этого уравнения разделим переменные так, чтобы дифференциалы переменных стояли в числителе дробей:

.

Интегрируя это уравнение, получим:

.

Выражая после интегрирования, получим общее решение. Например, решить уравнение . Разделим переменные

,

.

Интегрируя, получим общее решение:

,

.

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Имеем:

, , , , , , где .

В общее решение подставляем начальное условие и , то есть . Откуда и искомое частное решение имеет вид . Геометрически это означает, что через точку с координатами проходит кривая .

Дата добавления: 2014-11-26