Необходимый признак сходимости ряда

Свойства сходящихся рядов.

В следующей теореме указываются свойства сходящихся рядов.

Теорема. Если , , , то .

Итак, сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать, умножать на одно и то же произвольное число, при этом получаются сходящиеся ряды. Для получения их суммы надо суммы исходных рядов соответственно складывать, вычитать, умножать на это число.

Добавление к ряду конечного числа слагаемых или отбрасывание в нем конечного числа слагаемых на сходимость или расходимость ряда не влияет, при этом, если ряд сходится, то его сумма изменится на ту величину, которая добавлена или отброшена.

Установить сходимость или расходимость ряда путем определения и вычисления возможно не всегда. Проще это можно сделать, используя признаки сходимости. Необходимый признак сходимости ряда выражает следующая теорема.

Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена для значений равен нулю, то есть

.

Это условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Например, для гармонического ряда предел его общего члена равен нулю , но как было установлено выше гармонический ряд, является расходящимся.

Если же для некоторого ряда предел его общего члена не стремится к нулю, то теорема сразу позволяет сказать, что такой ряд расходится. Например, исследовать сходимость ряда . Найдем предел общего члена этого ряда:

,

то есть необходимый признак не выполняется, ряд расходится.

Дата добавления: 2014-11-26