Нахождение области сходимости степенных рядов

Из теоремы Абеля следует, что если ряд имеет как точки сходимости, так и точки, где ряд расходится, то существует число , такое, что степенной ряд абсолютно сходится в интервале и расходится в остальных точках числовой прямой.

Число R называется радиусом сходимости ряда. Радиус сходимости степенного ряда находится по следующей формуле:

, .

Интервал называется интервалом сходимости ряда . Если , то ряд сходится на всей числовой оси, если , то ряд сходится только для значения . Для значений ряд может либо сходиться, либо расходиться. Это выясняется после подстановки и в степенной ряд .

Например, найти радиус и интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала.

Найдем радиус и интервал сходимости данного ряда. По условию , тогда . Поэтому

.

Следовательно, и ряд сходится на интервале . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости, то есть в точках . Для значения получаем гармонический ряд , который расходится, а для значения – ряд , который является сходящимся по признаку Лейбница. Итак, данный ряд сходится в полуинтервале и расходится в точках вне этого интервала.

Для ряда радиус сходимости находится по той же формуле, что и выше, интервал сходимости будет иметь вид .

С помощью степенных рядов, особенно рядов Тейлора, можно приближенно вычислить определенный интеграл.

Например, вычислить интеграл с точностью до 0,001. В формулу

вместо и подставим соответственно и .

Получим:

Тогда:

.

Дата добавления: 2014-11-26