Знакопеременные числовые ряды

Лекция 15. Знакопеременные и степенные ряды

Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных слагаемых. Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд

,

где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем их расположение в ряде произвольно. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда:

.

Такой ряд называется абсолютным.

Если этот ряд сходится, то сходится и знакопеременный ряд. Знакопеременный ряд в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а абсолютный ряд расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Следующие теоремы отражают важные свойства абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов.

Теорема 1. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся, имеет одну и ту же сумму при любой перестановке его членов.

Теорема 2. Если ряд сходится условно, то какое бы ни взять наперед заданное число , можно так переставить члены этого ряда, чтобы сумма получившегося после перестановки ряда оказалась равной . Можно переставить члены условно сходящегося ряда так, чтобы ряд, полученный после перестановки членов, оказался расходящимся.

Итак, абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы: их можно складывать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Например, рассмотрим ряд

.

Переставим члены местами и сгруппируем их следующим образом:

.

После вычитания первых разностей в скобках имеем:

.

В скобках получили исходный ряд. Скобка умножается на , то есть сумма ряда уменьшается в 2 раза.

Дата добавления: 2014-11-26