Тема 9. Предмет, метод и основные задачи математической статистики

В теории вероятностей выводятся правила, которые позволяют по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности других, с ними связанных; по числовым характеристикам и функциям распределения одних случайных величин подсчитывать функции распределения и числовые характеристики других. Но как найти эти исходные вероятности, функции распределения и числовые характеристики? Как оценить хотя бы их приближенные значения? Это является предметом исследования математической статистики.

В настоящее время статистика включает в себя следующие три раздела:

1) сбор статистических сведений, т.е. сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых совокупностей;

2) статистическое исследование полученных данных, заключающееся в выяснении тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе данных массового наблюдения;

3) разработка приемов статистического наблюдения и анализа статистических данных.

Последний раздел и составляет содержание математической статистики.

Исходным материалом для статистического исследования реального явления служит набор результатов наблюдений над ним или же результатов специально поставленных испытаний. Вопросов, возникающих при этом, очень много. Укажем некоторые из них.

1. Оценка значений неизвестной вероятности случайного события.

2. Определение неизвестной функции распределения. Задача ставится так: в результате п независимых испытаний над случайной величиной Х получены следующие значения: х ₁, х ₂, …, х_п. Требуется определить, хотя бы приближенно, неизвестную функцию распределения F(x) случайной величины Х.

3. Определение неизвестных параметров распределения. Часто общетеоретические соображения позволяют сделать достаточно определенные заключения о типе функции распределения интересующей нас функции.

Общая задача ставится так: случайная величина Х имеет функцию распределения определенного вида, зависящую от k параметров, значения которых неизвестны. На основании последовательных наблюдений величины Х нужно найти значения этих параметров.

4. Проверка статистических гипотез. Задача, рассматриваемая здесь, ставится так: на основании каких соображений можно считать, что функция распределения случайной величины Х есть F(x); спрашивается, совместимы ли наблюденные значения с гипотезой, что Х действительно имеет распределение F(x)?

В частности, если вид функции распределения не вызывает сомнений и в проверке нуждаются только значения некоторых параметров, характеризующих это распределение, то в задаче спрашивается: не опровергают ли результаты наблюдений ту гипотезу, что параметры распределения имеют предложенные значения? Это – задача проверки простой гипотезы. Если проверяемая гипотеза состоит в том, что параметры принимают не точно определенные значения, а какие-то из некоторых определенных множеств, то гипотеза называется сложной.

5. Оценка зависимости. Производится последовательность наблюдений сразу двух случайных величин Х и У результаты наблюдений заданы парами: х ₁, у ₁, х ₂, у ₂, …, х_п, у_п. Выяснить наличие функциональной или корреляционной связи между Х и У.

6. Управление процессами. Пусть имеется случайный процесс от дискретного или непрерывного времени Х(t). Процесс под влиянием тех или иных причин может нарушить свое нормальное протекание и стать иным, например, Х₁(t). Это нарушение нормального течения может привести к нежелательным последствиям и нам нужно своевременно заметить момент «разладки» и оказать управляющее воздействие с целью восстановления нормального хода процесса.

Естественно, что перечисленными задачами далеко не исчерпываются основные проблемы математической статистики. Совершенно новые задачи перед математической статистикой ставит промышленная и научная практика. В частности, само планирование испытаний является одной из основных задач математической статистики.

Основная литература: [1], [2], [3].

Дополнительная литература: [3], [4].

Дата добавления: 2014-11-26