Пример 3. Найти область определения функции

Введение в математический анализ. Функция и ее свойства.

Контрольная работа №2

Пример 1. Найти область определения функции D(f)

Решение. Если числовая функция задана аналитически (в виде формулы ) и область ее определения не указана, то считают, что эта область есть множество всех действительных значений аргумента, при которых выражение - действительное число. Для существования заданной функции необходимо, чтобы имело место неравенство . Для существования функции должно иметь место неравенство , откуда . Область определения исходной функции или .

Пример 2. Найти область определения функций:

Решение. Для приведенных выше функций области определения удовлетворяют условиям: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Следовательно,

; ;

; ;

; .

.

Решение. Для существования функции необходимо, чтобы . Для существования функции надо, чтобы , откуда . Для существования функции необходимо, чтобы , откуда и .

Таким образом, получены условия

.

Пример 4. Найти область определения функции

.

Решение. Так как , то . Решив неравенство, найдем область определения функции

Применим метод интервалов (рис. 4)

1.
^1/3 1	.
2.
^-1 1	.
Рис. 4.

Система неравенств имеет решение .

Следовательно, .

Пример 5. Определить, являются ли функции

1. ; 2. ;

3. ; 4.

четными или нечетными.

Решение. Для определения свойств четности или нечетности функции следует проверить выполнение следующих положений:

1. Является ли область определение симметричной относительно начала координат, т.е. если , то и ;

2. Выполняются ли равенства или . При выполнении первого равенства функция окажется четной с графиком, симметричным относительно оси ординат, во втором – нечетной с графиком, симметричным относительно начала координат.

Для указанных в задаче функций:

1. ,

то функция - нечетная;

1. ,

то функция является четной;

1. ,

следовательно, функция нечетная;

1. ,

следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример 6. Найти период функции

.

Решение. При решении задач на нахождение периода функции следует использовать следующее.

Функция является периодической, если существует такое число Т ¹0, что при любом x из области определения функции числа и также принадлежат этой области и выполняется равенство .

В этом случае Т есть период функции .

Так как , то период Т =1.

Дата добавления: 2014-11-09