От лотоса к пренауке 13 страница

В Шальсификация

Многочисленные неудачи в логическом моделиро­вании процесса индукции привели некоторых видных философов науки XX в. к довольно низкой оценке по­знавательного статуса индукции в процессе научного познания и вообще к пересмотру функций наблюде­ния и эксперимента в развитии научного знания. Од­ним из таких философов был К. Поппер, предложив­ший новую модель взаимоотношения теории и опыта. Согласно Попперу, основная функция эмпирического опыта в науке состоит не в том, чтобы доказывать или подтверждать истинные гипотезы и теории (ни то, ни другое невозможно для универсальных гипотез по чисто логическим соображениям), а в том, чтобы опро­вергать ложные научные гипотезы. Если из эмпири­ческой гипотезы вытекают следствия, которые оказы­ваются ложными в ходе их сопоставления с данными наблюдения и эксперимента, то согласно правилу де­дуктивной логики modus tollendo ponens мы с логичес­кой необходимостью должны заключить о ложности самих гипотез. Согласно Попперу, доказательство лож­ности научных гипотез с помощью эмпирического опыта, названное им фальсификацией, образует важ­нейший метод научного познания. В этой связи Поп­пер заявляет, что именно потенциальная фальсифи-цируемость знания является необходимым признаком его научности. Фальсифицированные гипотезы и тео­рии должны учеными решительно отбрасываться без

ФранкФ. Философия науки. М, 1960. С 76.

всякой попытки их модификации (улучшения), а среди неопровергнутых наличным опытом гипотез предпоч­тение должно отдаваться, по Попперу, не наиболее вероятным, а, напротив, наиболее невероятным. К пос­ледним относятся наиболее содержательные в эмпи­рическом плане, наиболее информативные гипотезы, потому что, больше утверждая о мире, такие гипотезы имели большую вероятность быть опровергнутыми при их сопоставлении с реальным положением дел. Прогресс научного познания, по Попперу, как раз и заключается в том (или должен заключаться), что бо­лее информативные гипотезы вытесняют менее ин­формативные. Каждая победившая гипотеза будет на­ходиться в этой роли только некоторое время и ей на смену обязательно придет более инфорхмативная кон­цепция (изобретательной мощи человеческого разу­ма нет предела). Истина же, по Попперу, — это не реальное свойство научных систем знания, а только тот идеал (ценность), к которому они стремятся. В от­ношении индукции и ее возможностей Поппер выс­казался так: «Я не думаю, что имеется такая вещь, как «индуктивная логика» в карнаповском или в любом каком-либо ином смысле»¹. Индукция, по его мнению «является в основном попыткой расширить наше зна­ние, вывести из известного неизвестное... Как бы мы не думали об индукции, она, конечно, же не является аналитической»²

'• Popper К. Theories, experience and probabilistic intuitions // The problem of Inductiv Logic. Amst., 1968. P. 289. ² Popper K. Probability magic or Knowledge out of Jgnorance // Dialektica, 1957, 11. P. 369.

А вот как оценил суть концепции Р. Карнапа И. Ла-катос: «Можно стремиться к смелым теориям, но нельзя стремиться к хорошо подтвержденным теориям. Наше дело изобретать смелые теории, подтверждение же или опровержение их — дело природы. А как же быть с высказываниями ученых, которые часто говорят имен­но о подтверждении теории опытом. Поппер предла­гает весьма оригинальную трактовку таких высказы­ваний, считая, что термин «подтверждение» учеными понимается негативистски, а именно как «неопровер­жение». «Быть подтвержденным» означает в науке «не быть фальсифицированным наличным экспериментом в свете некоторой совокупности принятого предпосы-лочного знания». Поппер даже ввел специальное обо­значение для такого понимания подтверждения — corroboration вместо индуктивистского его обозначе­ния — confirmation.

Конечно, Поппер безусловно прав, подчеркнув важную и самостоятельную роль фальсификации как метода научного познания, как средства отбраковки ложных эмпирических гипотез и оказания предпочте­ния наиболее содержательным из нефальсифицирован­ных гипотез. Однако, он не прав в своей излишней ригористичности и в отношении возможности модифи­кации опровергнутых гипотез, и в отношении оказа­ния предпочтения всегда «фактам» в случае их проти­воречия с конкретными гипотезами, и в истолковании динамики научного познания как «перманентной ре­волюции», и в отрицании многофакторности и соци­альной детерминированности процесса принятия на­учных решений о наиболее предпочтительной гипоте­зе. Все это не соответствует реальной истории научного познания, ее эмпирическому бытию, к достижению соответствия к которому он сам настойчиво призывал при оценке любых научных построений.

В Экстраполяция_________________________________

Экстраполяция — экстенсивное приращение зна­ния путем распространения следствий какой-либо ги­потезы или теории с одной сферы описываемых явле­ний на другие сферы. Например, закон теплового из­лучения Планка, согласно которому энергия излучения может передаваться только отдельными «порциями» — квантами, был экстраполирован А. Эйнштейном н дру­гую область явлений; в частности, с помощью этого закона оказалось возможным исчерпывающим образом объяснить природу фотоэффекта и других сходных с ним явлений.

Пределы применимости любой естественно-науч­ной теории всегда должны выходить за рамки того опыта, на фундаменте которого она основывалась пер­воначально. Необходимость экстраполяции теории на новые области явлений коренится в самом ее назначе­нии как инструмента познания. Вспомним, что покоря­ющая эффективность механики Ньютона с момента ее создания заключалась в ее способности к единообраз­ному описанию таких казавшихся совершенно разно­родными явлений, как, например, падение камня с высоты на землю и д^: лжение Земли вокруг Солнца.

Экстраполяция — мощное эвристическое средство исследования природы; оно позволяет расширять по­знавательный потенциал научных понятий и теорий, увеличивать их информационную емкость, а также усиливает предсказательные возможности теории в обнаружении новых фактов. Сама способность к экст­раполяции той или иной гипотезы есть мощное кос­венное подтверждение ее истинности.

Глава 3

МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ПОЗНАНИЯ

В Идеализация

Важнейшим методом теоретического познания в науке является идеализация. Впервые этот метод был рассмотрен известным австрийским историком науки Э. Махом. Он писал: «Существует важный прием, зак­лючающийся в том, что одно или несколько условий, влияющих количество на результат, мысленно посте­пенно уменьшают количественно, пока оно не исчез­нет, так что результат оказывается зависимым от од­них только остальных условий. Этот процесс физичес­ки часто не осуществим; и его можно поэтому назвать процессом идеальным... Все общие физические поня­тия и законы — понятие луча, диоптрические законы, закон Мариотта и т. д. — получены через идеализацию... Такими идеализациями являются в рассуждениях Кар-но абсолютно непроводящее тело, полное равенство тем­ператур соприкасающихся тел, необратимые процессы, у Кирхгофа — абсолютно черное тело и т. д.»¹.

Какова природа идеализации? Как она возникает, и что она отражает по своему содержанию?

¹ Мах Э. Познание и заблуждение. Очерки по психологии ис­следования. М„ 1909. С. 197-198.

Рассмотрим следующую группу предметов: арбуз, воздушный шар, футбольный мяч, глобус и шарикопод­шипник. По какому признаку мы можем объединить их в один класс вещей? У всех у них разная масса, цвет, химический состав, функциональное назначение. Един­ственное, что их может объединить, так это то, что они сходны по «форме». Очевидно, что все они «шарооб­разны». Нашу интуитивную убежденность в сходстве этих вещей по форме, которую мы черпаем из показа­ний наших органов чувств, мы можем перевести на язык рационального рассуждения. Мы скажем: указан­ный класс вещей имеет форму шара.

Исследованием геометрических форм и их соот­ношений занимается специальная наука геометрия. Как же геометрия выделяет объекты своего исследо­вания и каково соотношение этих теоретических объек­тов с их эмпирическими прообразами? Вопрос этот занимает философскую мысль со времен Платона и Аристотеля.

Чем отличается объект геометрии — точка, прямая, плоскость, круг, шар, конус и т. д. от соответствующего ему эмпирического коррелята? Во-первых, геометри­ческий объект, например, шар, отличается от мяча, глобуса и т. п. тем, что он не предполагает наличие у себя физических, химических и прочих свойств, за исключением геометрических. На практике объекты с такими странными особенностями, как известно, не встречаются. В силу этого факта и принято говорить, что объект математической теории есть объект теоре­тический, а не эмпирический, что он есть конструкт, а не реальная вещь.

Во-вторых, теоретический объект отличается от своего эмпирического прообраза тем, что даже те свой­ства вещи, которые мы сохраняем в теоретическом объекте после процесса модификации образа (в дан­ном случае геометрические свойства), не могут мыс­литься такими, какими мы их встречаем в опыте. В са­мом деле, измерив радиус и окружность арбуза, мы замечаем, что отношение между полученными величи­нами в большей или меньшей степени отличается от того отношения, которое вытекает из геометрических рассуждений. Мы можем, однако, сделать деревянный или металлический шар, пространственные свойства которого будут значительно ближе к соответствующим-свойствам «идеального» шара. Не приведет ли про­гресс техники и процедур измерения к тому, что чело­век сможет физически воспроизвести тот или иной геометрический конструкт? Природа вещей такова, что такая возможность в принципе нереализуема. Нельзя вырастить арбуз, который по своей форме был бы столь же «правильным», как подшипник, этому препятству­ют законы живого. Нельзя создать такой подшипник, который бы абсолютно точно соответствовал геометри­ческому шару, этому препятствует молекулярная при­рода вещества. Отсюда следует, что хотя на практике мы можем создавать вещи, которые по своим геомет­рическим свойствам все больше и больше приближа­ются к идеальным структурам математики, все же надо помнить, что на любом этапе такого приближения между реальным объектом и теоретическим конструк­том лежит бесконечность.

Из сказанного вытекает, что точность и совершен­ство математических конструкций является чем-то эмпирически недостижимым. Поэтому, для того, чтобы создать конструкт, мы должны произвести еще одну модификацию нашего мысленного образа вещи. Мы не только должны трансформировать объект, мысленно выделив одни свойства и отбросив другие, мы должны к тому же выделенные свойства подвергнуть такому преобразованию, что теоретический объект приобре­тет свойства, которые в эмпирическом опыте не встре­чаются. Рассмотренная трансформация образа и назы­вается идеализацией. В отличие от обычного абстраги­рования, идеализация делает упор не на операции отвлечения, а на механизме пополнения.

Идеализация начинается с процесса практическо­го или мысленного экспериментирования с самой ве­щью, осуществляемого в соответствии с «природой вещей». Так, человек на практике обнаруживает, что, например, геометрические соотношения в вещи шаро­образной формы (скажем, отношение радиуса к пло­щади поверхности) не изменяются от того, если мы изменим цвет, температуру (в некотором диапазоне), а также ряд других характеристик вещи. Геометричес­кие свойства шара не будут меняться от того, будет ли он сделан из меди, глины, дерева, резины и т. д. Вот эта реально обнаруживаемая инвариантность гео­метрических свойств различных вещей при переходе от предмета с данным качественным составом к пред­метам другого качественного состава и является объективной основой процесса идеализации.

Рассмотрим теперь такой важный шаг процесса идеализации, как «предельный переход». Действитель­но ли в процессе первичной теоретизации в геомет­рии таких конструктов, как точка, прямая, плоскость, или в физике таких конструктов, как абсолютно непро­водящее тело, идеальный газ, абсолютно черное тело и т. п. мы пользуемся приемом, называемым «перехо­дом»? Если рассматривать процесс формирования те­оретических конструктов чисто абстрактно, то такой переход как будто действительно имеет место. Но если подойти к делу с точки зрения реального функциони­рования научного знания, то можно обнаружить не­сколько иную картину. Выше обращалось внимание на то, что различные предметы шарообразной формы в разной степени приближаются к «идеальному шару»: одни из них лишь грубо и приближенно можно при­нять за геометрическую фигуру, другие же соответству­ют ей с гораздо большей точностью. Пользуясь возмож­ностями современной техники, мы можем значительно увеличить желаемую точность. Воспроизведенная в материале геометрическая фигура может настолько точно соответствовать своему идеальному образу, что даже весьма тщательные измерения, проводимые на данной фигуре, не позволяют обнаружить погрешнос­ти материальной конструкции. Здесь наблюдается, таким образом, полное совпадение (в пределах ошибки измерения) данных эксперимента и теоретических предсказаний.

Какой же эмпирический смысл (т. е. смысл, ото­бражающий эмпирически обнаруживаемые познава­тельные ситуации) вкладывается в тезис, когда утвер­ждается, что никакая материальная конструкция ни­когда не может приблизиться к идеально точному математическому объекту? На практике это может оз­начать, что какого бы полного согласия на опыте меж­ду математической абстракцией и конкретной фигурой мы ни имели, всякий раз может случиться, что повы­шение точности наших средств измерения приведет к обнаружению расхождения между свойствами реаль­ной модели и ее идеального образца. Однако, повысив качество обработки материала, мы можем ликвидиро­вать это расхождение. Это тем не менее не меняет си­туации в принципе, а лишь подвигает на один шаг про­блему дальше, ведь повысив точность измерения, мы вновь обнаружим указанное расхождение. Принципи­ально важным является то, что существует абсолютный предел (обусловленный законами природы) приближе­ния любой материальной модели к ее идеальному об­разцу. Ведь даже траектория светового луча не может представлять собой идеальную прямую, ибо свет есть поток квантов, а движение кванта, как учит квантовая механика, не может быть соотнесено с какой-то опре­деленной, классически понимаемой траекторией.

Вот тут-то и происходит, согласно традиционной концепции, скачок мысли, скачок к абсолютно точному конструкту. Любая точка, которую мы достигаем на практике, ничто по сравнению с точностью мыслен­ной конструкции, ибо их разделяет бесконечность. Для чего нужна такая не встречающаяся на практике точ­ность математических объектов? «Всякое соотношение между математическими символами, —писал П.Л. Че-бышев, — отображает соответствующее соотношение между реальными вещами; математическое рассужде­ние равнозначно эксперименту безукоризненной точ­ности, повторенному неограниченное число раз, и дол­жно приводить к логически и материально безошибоч­ным выводам»¹.

Бесконечная точность нужна математике для того, чтобы не зависеть в процессе рассуждений от возмож­ных погрешностей опыта. Эта точность, однако, поку­пается дорогой ценой: она является точностью фор­мальной, точностью «по определению», лишенной вся­кого эмпирического содержания. Какую бы высокую точность мы ни предъявляли к эмпирии (к инженер-

¹ Цит. по статье Берштейна С.Н. Чебышев, его влияние на раз­витие математики. Уч. зап. МГУ, 1947, вып. 91, т. 1, кн. первая. С. 37.

ным расчетам, допускам и т. п.), математика гаранти­рует нам, что ее точность заведомо выше. Но что это значит? Всего-навсего лишь то, что, манипулируя ма­тематическими соотношениями, в которые входят эм­пирически заданные величины, мы можем быть увере­ны в том, что достигнутая на опыте точность будет полностью сохранена. При всей своей бесконечной точности математика ни на йоту не может повысить точность эмпирически поставленной задачи, но она гарантирует полное сохранение исходной эмпиричес-" кой точности в процессе математических манипуляций с заданными величинами.

Таким образом, никакого предельного перехода от конечного к бесконечному в прямом смысле этого сло­ва нет. Перед нами просто два ряда объектов — реаль­ных и формальных. Свойства одних заданы эмпири­чески «природой вещей», свойства других заданы нами, т. е. чисто формально, их точность абсолютна, но она не имеет никакого реального метрического смыс­ла. Их конечная цель — служить средством описания эмпирических объектов. Наука (особенно современная) демонстрирует нам многочисленные примеры, когда вначале создается теоретическая конструкция, а уж затем удается подыскать соответствующий ей класс реальных объектов или процессов.

Тезис, согласно которому денотатами понятий-иде-ализаций (таких, как точка в геометрии или идеальный газ в физике) является «пустой класс», представляет­ся, однако, спорным. Он затушевывает как раз то, что представляет наибольший интерес с гносеологической точки зрения, а именно, какую гносеологическую фун­кцию выполняет идеализация в конкретных познава­тельных ситуациях. В связи с этим можно вспомнить спор хмежду Пуанкаре и Эйнштейном о природе мате­матических идеализации. Точка зрения первого заклю­чалась в том, что понятия об идеальных математичес­ких объектах «извлечены нами из недр нашего духа»¹ и что им ничто непосредственно не соответствует в физическом мире. Но Эйнштейн дает характерный

' Пуанкаре А. Наука и гипотеза. М., 1904. С. 83.

ответ: «Что касается возражения, что в природе нет абсолютно твердых тел и что приписываемые им свой­ства не соответствуют физической реальности, то оно никоим образом не является столь серьезным, каким оно может показаться на первый взгляд. В самом деле, нетрудно задать состояние измерительного тела дос­таточно точно, чтобы его поведение по отношению к другим измерительным телам было настолько опреде­ленным, что им можно было бы пользоваться как «твер­дым» телом»¹.

В Формализация² ________________________________

Научная теория представляет собой определенную систему взаимосвязанных понятий и высказываний об объектах, изучаемых в данной теории. На определен­ном уровне развития познания сами научные теории становятся объектами исследования. В одних случаях необходимо представить в явном виде их логическую структуру, в других — проанализировать механизм развертывания теории из некоторых положений, при­нимаемых за исходные, в-третьих — выяснить, какую роль в теории играет то или иное положение или до­пущение и т. д. В зависимости от цели изучения тео­рии, можно ограничиться простым описанием или на­учным анализом ее структуры в форме опять-таки со­держательного описания. Но иногда оказывается необходимым подвергнуть ее строгому логическому анализу. Чтобы его осуществить, теорию необходимо формализовать.

' Эйнштейн А. Собр. науч. трудов. Т. 2. С. 86 — 87. ² Подробнее см.: Кураев В.И., Лазарев Ф.В. Точность, истина и рост знания. М.: Наука, 1988.

Формализация начинается с вскрытия дедуктив­ных взаимосвязей между высказываниями теории. В выявлении дедуктивных взаимосвязей наиболее эф­фективен аксиоматический метод. Под аксиомами в настоящее время понимают положения, которые при­нимаются в теории без доказательства. В аксиомах перечисляются все те свойства исходных понятий, которые существенны для вывода теорем данной тео­рии. Поэтому аксиомы часто называют неявными оп­ределениями исходных понятий теории. Далее, при формализации должно быть выявлено и учтено все, что так или иначе используется при выводе из исходных положений (аксиом) теории других ее утверждений. Поэтому необходимо в явной форме сформулировать — или при помощи соответствующих логических аксиом, или при помощи логических правил вывода — все те логические средства, которые используются в процес­се развертывания теории, и присоединить их к приня­той системе исходных ее утверждений.

В результате аксиоматизации теории и точного установления необходимых для ее развертывания ло­гических средств научная теория может быть представ­лена в таком виде, что любое ее доказуемое утвержде­ние представляет собой либо одно из исходных ее ут­верждений (аксиому), либо результат применения к ним четко фиксированного множества логических правил вывода. Если же наряду с аксиоматизацией и точным установлением логических средств понятия и выражения данной теории заменяются некоторыми символическими обозначениями, научная теория пре­вращается в формальную систему. Обычные содержа­тельно-интуитивные рассуждения заменены в ней выводом (из некоторых выражений, принятых за ис­ходные) по явно установленным и четко фиксирован­ным правилам. Для их осуществления нет необходи­мости принимать во внимание, значение или смысл выражений теории. Такая теория называется форма­лизованной: она может рассматриваться как система материальных объектов определенного рода (симво­лов), с которыми можно обращаться, как с конкретны­ми физическими объектами.

Различают два типа формализованных теорий: полностью формализованные, в полном объеме реали­зующие перечисленные требования (построенные в аксиоматически-дедуктивной форме с явным указани­ем используемых логических средств), и частично формализованные, когда язык и логические средства, используемые при развитии данной науки, явным об­разом не фиксируются. Именно частичная формализа­ция типична для всех тех отраслей знания, формализа­ция которых стала делом развития науки в первой половине XX века (лингвистика, некоторые физичес­кие теории, различные разделы биологии и т. д.). Да и в самой математике математические теории выступа­ют в основном как частично формализованные. Только в современной формальной логике, в методологичес­ких, метанаучных исследованиях полная формализация имеет существенно важное значение.

Несмотря на то что при частичной формализации ученые основываются на интуитивно понимаемой ло­гике, такие теории могут рассматриваться как разно­видность формализованных, поскольку, во-первых (если в этом появится необходимость), можно явно задать систему используемых логических средств и присоединить ее к аксиоматике частично формализо­ванной теории, во-вторых, в этом случае содержание специфичных для данной теории понятий (например, математических) должно быть выражено с помощью системы аксиом столь полным образом, чтобы не было необходимости при развертывании теории обращать­ся к каким бы то ни было свойствам объектов, о ко­торых идет речь в теории, помимо тех, что зафикси­рованы в исходных утверждениях. Примером может служить аксиоматизация геометрии Евклида Д. Гиль­бертом.

Таким образом, формализация представляет собой совокупность познавательных операций, обеспечива­ющих отвлечение от значения понятий теории с целью исследования ее логических особенностей. Она позволяет превратить содержательно построенную теорию в систему материальных объектов определен­ного рода (символов), а развертывание теории свести к манипулированию этими объектами в соответствии с некоторой совокупностью правил, принимающих во внимание только и исключительно вид и порядок сим­волов, и тем самым абстрагироваться оттого познава­тельного содержания, которое выражается научной теорией, подвергшейся формализации.

В этом смысле можно сказать, что формализация теории сводит развитие теории к форме и правилу. Такая формализация не только предполагает аксиома­тизацию теории, но и требует еще точного установле­ния логических средств, необходимых в процессе ее развертывания. Поэтому формализация теории стала возможной лишь после того, как теория вывода и акси­оматический метод получили необходимое развитие.

Обычно выделяют три качественно различных этапа или стадии развития представлений о существе аксиоматического метода. Первый — этап содержа­тельных аксиоматик, длившийся с появления «Начал» Евклида и до работ Н.И. Лобачевского по неевклидо­вым геометриям. Второй — этап становления абстрак­тных (или, подругой терминологии, формальных) ак­сиоматик, начавшийся с появления неевклидовых гео­метрий и кончившийся с работами Д. Гильберта по основаниям математики (1900— 1914 гг.). Третий — этап формализованных аксиоматик, начавшийся с по­явлением первых работ Гильберта по основаниям ма­тематики и продолжающийся до сих пор. С наи­большей полнотой как достоинства, так и недостатки первоначальной стадии развития аксиоматического метода выражены в знаменитых «Началах» Евклида (III в. до н. э.).

Изложение геометрии Евклид начинает с перечис­ления некоторых исходных положений, а все осталь­ные стремится так или иначе вывести из них. Далее, среди множества всех геометрических понятий, упот­ребляемых им, он выделяет такие, которые считает за исходные, а все остальные стремится определить че­рез них. Класс исходных положений (аксиом и посту­латов) и класс исходных геометрических понятий Ев­клид рассматривает в качестве интуитивно ясных, са­моочевидных — таков тот важнейший критерий, по которому происходит разбиение всего множества гео­метрических понятий и положений на исходные и производные. Все другие утверждения теории Евклид выводит логическим путем из аксиом и постулатов.

В качестве отличительных черт той системы акси­ом, на основе которой Евклид развертывает геометрию, можно назвать следующие: во-первых, под аксиомами понимаются интуитивно истинные высказывания, у которых предполагается некоторое вполне определен­ное содержание, характеризующее свойства окружа­ющего пространства; во-вторых, не была указана яв­ным образом логика (т. е. правил вывода), опираясь на которую Евклид строит геометрию. В ней интуиция и дедукция шли рядом: недостаток дедукции восполня­ется наглядным примером — чертежом или построе­нием циркулем и линейкой. Более того, необходимость использования циркуля и линейки просто постулиро­валась.

Конкретный, содержательный характер аксиома­тики Евклида обусловил и весьма существенные недо­статки, присущие первой стадии развития аксиомати­ческого метода. Раз предполагалось, что аксиомы гео­метрии описывают интуитивно очевидные свойства пространства и логика не была строго очерчена, то оставались широкие возможности при дедукции из аксиом других геометрических утверждений вводить дополнительные (помимо принятой системы аксиом) интуитивно очевидные допущения как геометрическо­го, так и логического характера. Тем самым, по суще­ству, оказывалось невозможным провести строго ло­гическое развертывание геометрии.

Тем не менее построение геометрии Евклидом служило образцом логической точности и строгости не только для математики, но и для всего научного знания на протяжении многих веков. Однако постепенно, на­чиная примерно с XVIII в., наблюдается постепенная эволюция стандартов строгости и точности построения теории, что необходимо порождало критическое отно­шение к собственно евклидовой традиции.

В формировании новых представлений о существе аксиоматического метода особенно большое значение имело создание неевклидовых геометрий. Открытие неевклидовых геометрий привело к существенному изменению взглядов не только на геометрию Евклида, но и на вопрос о природе и критериях математической строгости и точности вообще. Введя в систему аксиом новый постулат о параллельных прямых, противоре-

Глава 3. Методы тварвтичвсквгв позпапия

чивший интуитивному представлению о свойствах окружающего пространства, стало невозможно полу­чать выводы, опираясь на очевидные, наглядные допу­щения. Новый взгляд на место и роль интуитивно оче­видных соображений в построении и развертывании геометрии заставлял более строго отнестись к харак­теристике допустимых логических средств вывода с целью исключения интуитивных допущений как гео­метрического, так и логического характера.

Здесь важно подчеркнуть и то обстоятельство, что исследования неевклидовой геометрии поставили в центр внимания понятие структуры; от проверки и доказательства истинности отдельных (часто связанных между собой лишь благодаря обращению к интуиции) предложений перешли к рассмотрению внутренней связанности (совместимости) системы предложений в целом, к трактовке истинности (и точности) как свой­ства системы, независимо от того, располагаем ли мы средствами проверки каждого предложения системы или нет.

Математические теории, построенные в соответ­ствии с теми представлениями о математической и логической строгости, которые сформировались на протяжении первых двух третей XIX в., были значи­тельно ближе к идеалу строго аксиоматического пост­роения теории. Однако и в них этот идеал — исключи­тельно логического выведения всех положений теории из небольшого числа исходных утверждений — не был реализован полностью. Во-первых, при развертывании теории из принятой системы аксиом продолжали опи­раться на интуитивно понимаемую логику, без явного указания всех тех логических средств, с использова­нием которых связан вывод из аксиом доказуемых положений. Во-вторых, создание неевклидовых геомет­рий, резко расходящихся с геометрической интуици­ей, остро поставило вопрос об основаниях приемлемо­сти подобного рода теоретических построений. Эта задача решалась путем нахождения способа относи­тельного доказательства непротиворечивости неевкли­довых геометрий. Суть этого метода состоит в том, что для доказательства непротиворечивости неевклидовой геометрии подыскивается такая интерпретация ее ак­сиом, которая приводит к некоторой другой теории, в силу тех или иных оснований уже признанной непро­тиворечивой. До тех пор, пока система аксиом не на­ходила такой интерпретации, вопрос о ее непротиво­речивости, естественно, оставался открытым. К тому же на рубеже XIX —XX вв. выяснилось, что теория мно­жеств, из которой в конечном счете черпались интер­претации всех других математических систем, далеко не безупречна в логическом отношении. В ней были открыты различные противоречия (парадоксы), грозив­шие разрушить величественное здание математики.

Дата добавления: 2014-11-09