Основы метода комплексных амплитуд

Гармоническому колебанию какой-либо физической величины

(2.7)

сопоставляется комплексное представление

. (2.8)

Здесь: – сомножитель, описывающий временную зависимость; – мнимая единица; – комплексная величина, называемая комплексной амплитудой соответствующей физической величины. Модуль комплексной амплитуды определяет амплитуду исходного колебания, а аргумент – начальную фазу.

В теории цепей гармоническим колебаниям напряжения и тока сопоставляются комплексы:

, (2.9)

, (2.15)

где и – комплексные амплитуды напряжения и тока. В конкретных цепях и являются искомыми переменными в уравнениях электрического равновесия. Решение этих уравнений в комплексной форме определяет амплитуды и начальные фазы изначально искомых напряжений и токов: , ; , . Формально переход от комплексных амплитуд к мгновенным значениям напряжений и токов осуществляется посредством формулы:

. (2.10)

Представленные выше исходные понятия теории электрических цепей в комплексной форме принимают вид, приведенный в таблице 2.2.

Важным свойством метода комплексных амплитуд является то, что операциям дифференцирования и интегрирования соответствуют умножение и деление на . Это приводит к тому, что, например, электрическое состояние цепи, приведенной на рис. 2.6, методом комплексных амплитуд будет представлено не интегро-дифференциальным уравнением (2.6), а линейным алгебраическим уравнением

, (2.6а)

решение которого, с учетом формулы (2.10), легко находится.

Таким образом, применение метода комплексных амплитуд существенно упрощает получение результатов при анализе гармонических колебаний в линейных физических системах. Его положительным качеством также является наглядность представления гармонических процессов посредством векторных диаграмм на комплексной плоскости.

Таблица 2.2

Основные понятия теории электрических цепей в комплексной форме

Напряжение
Ток
Источник напряжения			(2.11)
Источник тока			(2.12)
Резистивность			(2.13)
Емкость			(2.14)
Индуктивность			(2.15)
Первый закон Кирхгофа			(2.16)
Второй закон Кирхгофа			(2.17)

Дата добавления: 2014-11-16