Лекция № 52

2.3. Замена переменных в двойном интеграле.

Пусть координаты х и у являются функциями новых переменных и и v:

(1)

где и однозначные и непрерывные функции вместе со своими производными в некоторой области . По формуле (1) каждой точке соответствует единственная точка .

Верно и обратное.

Таким образом, между областями D и установлено взаимно одно-значное соответствие. Каждой линии вида соответствуют некоторые кривые в плоскости O xy, а прямоугольной площадке - криволинейная площадка в области D.

v y

M

v

D

u x

O u O

Рассмотрим интегральную сумму от функции в области

(2)

В формуле (2), чтобы получить интегральную сумму по области , необходимо выразить через . Если вычислять как площадь параллелограмма, то с точностью до б.м.в. более высокого порядка можно получить равенство , где определитель называется якобианом. Тогда равенство (2) принимает вид

. (3)

Переходя к пределу при в интегральных суммах (3), получаем

. (4)

Формула (4) представляет собой формулу замены переменных в двой-ном интеграле.

Замечание 1. Так как , то якобиан представ-ляет собой коэффициент изменения площади элементарной площадки.

2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат

Напомним связь между декартовыми и полярными координатами:

Вычислим якобиан для этого случая, полагая

.

Тогда формула (4) для вычисления двойного интеграла примет вид

(5)

О

Замечание 2. Из геометрического смысла якобиана следует, что площадь элементарной площадки в полярной системе координат вычисляется по формуле - элемент площади в полярной системе координат.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , пере-ходя к полярной системе координат, где область

у

а

- а О а х

Пример 2. Вычислить интеграл Пуассона .

Рассмотрим область y

.

Перейдём к полярным

координатам.

Тогда О R x

.

Таким образом, интеграл Пуассона .

2.5. Приложения двойного интеграла

2.5.1. Площадь плоской области.

Если подынтегральная функция , то площадь области D в ДСК равна или - в полярной системе координат, что следует из определения двойного интеграла.

Пример 3. Найти площадь у

области

D

Изобразим данную О 2 х

область на рисунке и

вычислим ее площадь:

Пример 4*. Найти площадь у

фигуры, ограниченной линией

.

Изобразим данную область х

на рисунке.

Перейдём к полярной системе

координат

.

Из рисунка следует

Для вычисления этого интеграла воспользуемся заменой

t

и формулой . Тогда имеем

.

Дата добавления: 2014-11-16