![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция № 50
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ КУРС ЛЕКЦИЙ КНИГА — ПОЧТОЙ САМЫЙ ПОЛНЫЙ УЧЕБНИК ДЛЯ ТРЕНЕРОВ, ПЕРЕГОВОРЩИКОВ И ВСЕХ-ВСЕХ-ВСЕХ Елена Евгеньевна Акимова До следующей встречи! Главный редактор И. Авидон Художественный редактор Л. Борозенец Технический редактор А. Каретин Корректор А. Борисенкова Ответственный секретарь М. Фомичева Генеральный директор Л. Янковский Подписано в печать 15.09.2009 г. Формат 70xl00 1/16. Усл. печ. л. 18. Тираж 2000 экз. Заказ № 1262 ООО Издательство «Речь» 199178, Санкт-Петербург, а/я 96. «Издательство „Речь"» тел. (812) 323-76-70, 323-90-63 sales@rech.spb.ru Интернет-магазин: www.rech.spb.ru Представительство в Москве: тел.: (495) 502-67-07 Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУЛ «Типография «Наука» 199034, Санкт- Петербург, 9 линия, 12 Вы можете заказать книги нашего издательства любым удобным для вас способом: • По телефонам: (812) 323-76-70, (812) 329-08-80 • По электронной почте: rech-spb@mail.ru • На сайте издательства: www.rech.spb.ru • По почте: 199178, Санкт-Петербург, а/я 96, Вы делаете заказ, указав: 1) фамилию, имя, отчество, телефон, e-mail; 2) почтовый индекс, регион, район, населенный пункт улицу, дом, корпус, квартиру; 3) название книги, автора, количество экземпляров. Мы высылаем Вам книги в течение 3-х дней после принятия заказа!
по высшей математике Часть III Учебное пособие
Донецк - 2010
1. Основные типы уравнений математической физики
Для дифференциальных уравнений второго порядка в частных произ-водных существуют три типа уравнений или уравнений, сводящихся к ним путём замены переменных: 1. Уравнения гиперболического типа. К этому уравнению приводятся задачи о различных колебательных процессах. Простейший (канонический) вид этого уравнения
2. Уравнения эллиптического типа. К этому уравнению приводятся задачи об электрических и магнитных полях, задачи гидродинамики жидкости, диффузии, упругости. Каноничес-кий вид этого уравнения
3. Уравнения параболического типа. К этому уравнению приводятся задачи о распространении тепла, фильтрации жидкости и газа. Канонический вид этого уравнения
Остановимся более подробно на случае волнового уравнения.
2. Решение волнового уравнения методом Фурье
Рассмотрим задачу о колебаниях струны, закреплённой в точках
где Для решения уравнения (1) необходимо задать граничные условия (условия неподвижности концов струны):
и начальные условия (форма струны и скорость каждой точки струны в момент времени
Замечание 1. Если Решение уравнения (1) будем искать в виде произведения двух функций
Подставим выражение (5) в уравнение (1), получим
В левой части равенства (6) стоит функция от t, а в правой - от x. Поэтому такое равенство возможно только при условии
Общие решения этих дифференциальных уравнений имеют вид
тогда
Подберём произвольные постоянные Последнее равенство возможно только при Найденные значения Замечание 2. Константу разделения нельзя взять положительной величиной, т.е. в виде не удовлетворяет граничным условиям ни при каких значениях Таким образом, для каждого значения п получаем своё решение а сумма этих решений также является решением уравнения (1), т.е.
Теперь удовлетворим начальные условия. Подставим в условие (3) выражение (8), положив
Замечаем, что коэффициенты
Продифференцируем выражение (8) по t и подставим Окончательно, решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2-4), имеет вид (8), где коэффициенты Пример. Решить волновое уравнение
Так как
где уравнения прямых ОМ и МК: О и тогда находим Тогда
Если обозначить
Здесь
Дата добавления: 2014-11-16; Просмотров: 388; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |