Тема 5 : Поверхностные интегралы

5.1. Поверхностные интегралы первого рода

Пусть в пространстве задана некоторая поверхность , на которой определена функция , где точка . Если в крат-ном интеграле в качестве области рассмотреть поверхность , а качестве меры – площадь этой поверхности, то получим частный случай кратного интеграла, который называется поверхностным интегралом пер-вого рода:

.

Из определения следует, что свойства поверхностного интеграла первого рода аналогичны свойствам кратного интеграла.

Как было показано в лекции 53, элемент площади проекции поверх-ности вычисляется по формуле , где - элемент поверх-ности,

и тогда формула для вычисления интеграла принимает вид

,

где D - проекция поверхности в плоскость О ху, а - уравнение поверхности .

Замечание 2. Аналогично можно получить формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода в случае задания уравнений поверхности в виде или .

Пример 3. Вычислить , где - часть поверхности конуса:

Так как уравнение поверхности в этом случае имеет вид , то и тогда получаем

,

где D - круг .

Переходя к полярным координатам, получим

.

5.2. Поверхностные интегралы второго рода

Пусть в каждой точке определён некоторый вектор . Разобьём поверхность на элементарные площадки и составим интегральную сумму

, (1)

где - единичный нормальный вектор поверхности.

Переходя к пределу в интегральной сумме (1), получаем определение поверхностного интеграла второго рода:

.

Из определения поверхностного интеграла второго рода следует:

1. Свойства интеграла аналогичны свойствам 1-2 кратных интегралов.

2. При изменении стороны поверхности интеграл меняет знак, так как меняет свое направление нормальный вектор.

Так как

и , то

-

другая запись поверхностного интеграла второго рода.

Если уравнение поверхности , то

,

где - проекция в плоскость О ху, а знак перед интегралом берётся “+“, если и “-“, если . Аналогично вычисляются инте-гралы .

Пример 4. Вычислить , если , а поверхность - грань АОС пирамиды АВСО, образованной пересече-нием плоскости с координатными плоскостями.

В этом случае . z

. С

Тогда и

. О В у

А

х

5.3. Приложения поверхностных интегралов

Приложения поверхностных интегралов первого рода к задачам гео-метрии и механики аналогичны приложениям тройных интегралов, если заменить .

Пример 5. Определить момент инерции однородной полусферы радиуса R относительно ее центра.

Так как

,

то получим

,

где - масса полусферы.

Если - вектор скоростей жидкости, протекающей через поверхность , то интеграл

представляет собой количество жидкости, протекающей через эту поверх-ность за единицу времени (поток через поверхность ) – физический смысл поверхностного интеграла второго рода.

Дата добавления: 2014-11-16