Лекция № 54. Тема 3 : Тройной интеграл

3.1. Определение и вычисление тройного интеграла

Исходя из определения кратного интеграла, имеем

.

Замечание 1. Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам крат-ного интеграла.

Определение. Правильной пространственной областью V называется область, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Верхняя и нижняя границы области V задаются уравнениями: и соответственно;

2. Всякая прямая, параллельная оси O z, пересекает верхнюю и нижнюю границы области V не более чем в двух точках;

3. Проекция области V в плоскость O xy является правильной в направлении осей O y или O x областью D.

z

V

O y

a

D

b

х

Если V правильная область, то можно показать, что вычисление тройного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла

.

3.2. Замена переменных в тройном интеграле

Пусть заданы непрерывно дифференцируемые функции

которые осуществляют взаимно однозначное отображение области в координатах на область V в координатах . Тогда аналогично, как и для двойного интеграла, получим формулу замены переменных в тройном интеграле

(1)

где определитель J = называется якобианом.

В качестве примера рассмотрим цилиндрические координаты. В цилиндрических координатах положение точки определяется координатами .

z

O y

x

Из рисунка видна связь декартовых координат с цилиндрическими

Если теперь в формуле (1) положить , то получим

так как якобиан для цилиндрических координат имеет вид

Здесь - уравнения нижней и верхней границ об-ласти V в цилиндрической системе координат, а - границы области D в полярной системе координат.

3.3. Приложения тройного интеграла

3.3.1. Объём тела.

Если положить , то из определения тройного интеграла следует, что

Пример 1. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

Изобразим данную область z

O 1 y

x

3.3.2. Центр масс (тяжести) тела.

Если - плотность области V, то, как было показано ранее, масса тела будет равна

Рассуждая аналогично, как и для случая двойного интеграла находим координаты центра масс (тяжести)

(2)

Замечание 2. Формулы (2) для однородного тела преобразуются аналогично, как и для случая двойного интеграла.

Пример 2. Найти координаты центра масс (тяжести) тела, ограничен-ного поверхностями: , если известна его плот-ность .

z

O y

x

В цилиндрических координатах

Тогда в силу симметрии тела и функции плотности относительно оси аппликат имеем х _С = у _С = 0 и

3.3.3. Моменты инерции.

Аналогично, как и для двойного интеграла, получаем выражения для моментов инерции относительно координатных осей

Пример 3. Найти момент инерции однородного бруса длиною l, a и b - размеры прямоугольного поперечного сечения.

z

a

b y

x

,

где т - масса бруса.

Дата добавления: 2014-11-16