КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция № 57. Тема 6 : Элементы теории поля
6.1. Понятие поля
Определение 1. Полем называется область пространства, в каждой точке которой определено рассматриваемое значение физической характеристики среды. Эти характеристики могут быть скалярными (например, температура, давление, плотность и т.д.) или векторными (скорость, сила и т.д.). Соответственно и поля называются скалярными и векторными. Для задания скалярного поля достаточно задать одну функцию . Для задания векторного поля необходимо задать три скалярные функции: Геометрические образы поля позволяют наглядно представить его структуру. Геометрическими образами скалярного поля являются поверхности уровня (в трёхмерном пространстве) или линии уровня (в двумерном пространстве). Они соответственно задаются уравнениями: , Для векторного поля геометрическими образами являются векторные линии – такие линии, в каждой точке которых в данный момент времени касательная совпадает с направлением вектора поля.
М
Пусть уравнение векторной линии имеет вид Тогда из условия коллинеарности вектора касательной и поля получаем систему дифференциальных уравнений для определения векторных линий . Пример 1. Найти уравнение векторных линий поля скоростей, вращающегося тела с постоянной угловой скоростью В этом случае Тогда или - множество концентрических окружностей,
6.2. Формула Гаусса - Остроградского
Теорема 1. Если функции являются непрерывными функциями вместе со своими частными производными первого порядка, то имеет место формула (1) где - направляющие косинусы единичного нормального вектора к поверхности , которая является границей области V. Замечание 1. Нетрудно заметить, что и тогда поток векторного поля определяется по формуле . Пусть задано векторное поле . Рассмотрим некоторую точку М и окружим её поверхностью . Вычислим поток через эту поверхность. Если - поле скоростей текущей жидкости, то возможны следующие случаи: 1. - количество втекающей жидкости равно количеству вытека-ющей жидкости; 2. - количество втекающей жидкости меньше вытекающей; 3. - количество втекающей жидкости больше вытекающей. Во втором случае точка M называется источником, в третьем – стоком. Рассмотрим отношение , где V - объём области с границей . Это отношение представляет собой среднюю мощность источников или стоков, находящихся внутри области V. Определение 2.Дивергенцией векторного поля в точке М назы-вается . (2) Таким образом, дивергенция в точке представляет собой мощность источника или стока, находящегося в этой точке. Формулу (2) с учетом формулы (1) можно преобразовать к виду . (3) Замечание 2. В обозначении дивергенции формула (1) представляется в векторной форме Определение 3. Если в каждой точке векторного поля выполняется условие то такое поле называется соленоидальным. Это поле, которое не имеет источников и стоков. Так, например, в рассмотренном выше примере поле является соленоидальным.
6.3. Формула Стокса
Теорема 2. Если функции являются непрерывными функциями вместе со своими частными производными первого порядка, то имеет место формула (4) где L - граница поверхности . Определение 4. Вектор называется вихрем или ротором векторного поля . Если поле скоростей текущей жидкости, то можно показать, что равен удвоенной угловой скорости вращения бесконечно малой частицы в точке М, т.е. ротор характеризует вращательную способность векторного поля. Замечание 3. В обозначении ротора формула (4) представляется в векторной форме Определение 5. Значение интеграла называется циркуляцией векторного поля вдоль контура L. Аналогично, как и для плоского случая можно показать, что условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования сводится к выполнению соотношения (5) где L - произвольный контур. С учётом формулы Стокса условие (5) принимает вид , (6) т.е. . Это означает, что выражение является полным дифференциалом, т.е. существует такая функция , для которой выполняется , где и где - фиксированная точка, - текущая точка, а путь интегрирования выбирается произвольно. Определение 6. Векторное поле, для которого выполняется условие , называется потенциальным или безвихревым, а сама функция потенциалом. Пример 2. Показать, что поле является потенциальным и найти его потенциал. Проверим выполнение условий (6): В качестве пути интегрирования выберем ломаную, звенья которой параллельны координатным осям, как показано на рисунке.
z
y
x
Тогда где .
Дата добавления: 2014-11-16; Просмотров: 591; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |