Лекция № 73

.....

Тогда

,

где .

Легко заметить, что данная функция является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = - z.

4.6. Ряд Лорана

Определение 3. Ряд вида

называется рядом Лорана.

Его можно представить в виде

(5)

Первая сумма в правой части формулы (5) называется правильной частью, а вторая сумма – главной частью ряда Лорана.

Очевидно, областью сходимости ряда Лорана является общая часть областей сходимости его главной и правильной частей. Определим её.

Правильная часть сходится в области вида . Для главной части сделаем замену . Областью сходимости такого ряда является круг . Тогда главная часть сходится при или . Отсюда следует вывод:

1. Если , то область сходимости - кольцо и при этом возможны случаи:

1.1. - кольцо (круг с выколотым центром);

1.2. - кольцо (вне круга);

1.3. - кольцо (плоскость с выколотой точкой).

2. Если - ряд Лорана не сходится ни при каких z.

Рассмотрим обратную задачу: Пусть задана аналитическая функция в кольце , тогда имеет место

Теорема 3. Функция аналитическая в кольце однозначно представляется рядом Лорана

, (6)

где

a контур L - окружность, принадлежащая кольцу, с центром в точке .

Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию в окрест-ности точки .

Представим функцию в виде суммы .

Последнее слагаемое в правой части уже является членом ряда Лорана. Разложим в ряд Лорана первое слагаемое:

.

Таким образом, данная функция у

в кольце разлагается

в ряд Лорана вида

О 1 х

. (7)

Найдем коэффициенты ряда Лорана также непосредственно по фор-муле (6):

Тогда ряд Лорана будет иметь вид (7).

Дата добавления: 2014-11-16