![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция № 75
2.2. Теорема о свёртке
Определение 1. Выражение вида называется свёрткой функций Теорема. Если
Действительно, = (во внутреннем интеграле заменим переменную) = Пример 1. По изображению Из таблицы изображений
поэтому по теореме о свёртке получим
2.3. Теорема о дифференцировании оригинала
Теорема. Если Докажем эту формулу для первой производной, применив формулу интегрирования по частям: Аналогично, применяя формулу интегрирования по частям п раз, получим изображение п -ой производной. Пример 2. Найти изображение функции
2.4. Теорема о дифференцировании изображения
Теорема. Доказывается дифференцированием по р преобразования Лапласа. Пример 3. Найти изображение функции
2.5. Теорема об интегрировании оригинала
Теорема. Если Пусть тогда по теореме о дифференцировании оригинала получаем
Пример 4. Найти изображение функции Воспользуемся результатом примера 3 и теоремой об интегрировании оригинала: 2.6. Теорема об интегрировании изображения
Теорема. Если Преобразуем интеграл Пример 5. Найти изображение функции Так как по теореме смещения то
2.7. Теорема разложения
то где
O Рассмотрим интеграл
Переходя в выражении (1) к пределу при
получим т.е. где L - контур, внутри которого находятся все особые точки функции Рассмотрим частные случаи теоремы. Пусть Тогда функция 1. Случай простых полюсов. Тогда по теореме о вычетах получаем
2. Случай кратных полюсов ( Аналогично
Замечание. Если изображение
Пример 6. По изображению Здесь Лекция № 76. Тема 3: Приложения операционного исчисления
3.1. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения
при начальных условиях: Здесь Обозначим Тогда, применяя к обеим частям уравнения (1) преобразование Лапласа и используя теорему о дифференцировании оригинала, после перегруп-пировки слагаемых получим
Отсюда находим изображение искомой функции
Затем по изображению (2) определяем оригинал Проиллюстрируем этот метод на конкретном примере. Пример 1. Найти решение уравнения Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:
Отсюда определяем изображение искомой функции
После преобразований находим Применим метод неопределённых коэффициентов
Из данной системы определяем и по таблице изображений находим искомую функцию Решение систем рассмотрим для случая двух уравнений. с начальными условиями: Обозначим Тогда, применяя к обеим частям уравнений системы преобразование Лапласа и используя теорему о дифференцировании оригинала, получим систему для определения изображений искомых функций
Из полученной системы находим изображения Пример 2. Найти решение системы уравнений при начальных условиях Применяя преобразование Лапласа, получаем систему линейных алгебраических уравнений из которой определяем
Тогда по таблице изображений находим Замечание. Аналогично, используя теорему об интегрировании оригинала, можно решать интегральные уравнения, т.е. когда в уравнении искомая функция находится под знаком интеграла. Пример 3. Найти решение интегрального уравнения
Переходим к изображениям: Из полученного уравнения определяем и по таблице изображений находим
3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
Наиболее широко операционное исчисление применяется в задачах электротехники и автоматического управления, в частности при изучении переходных процессов в линейных физических системах. Остановимся на его применении в задачах механики и автоматики. Пример 4. Рассмотрим задачу о движении материальной точки массой Представим силу упругости в виде где с - коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины,
Уравнение (3) является интегрально-дифференциальным уравнением для определения скорости движения
где Из уравнения (4) определяем изображение
Определить оригинал (искомую скорость) по изображению (5) не представляет затруднений (см., например, теорему разложения). Всё зависит от значений коэффициентов: Пример 5. Найти решение дифференциального уравнения имеет обычный для автоматических
а начальные данные Левая часть дифференциального уравнения имеет изображение а изображение правой части найдем, используя теорему запаздывания. С помощью единичной функции данную функцию и тогда по таблице изображений имеем Таким образом, дифференциальное уравнение примет вид откуда Переходя от изображения к оригиналу, окончательно получим
Дата добавления: 2014-11-16; Просмотров: 429; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |