Лекция № 72

4.3. Интегральная формула Коши

Теорема 1. Если однозначная и аналитическая функция в области с границей L, то выполняется

(1)

Правая часть в формуле (1) называется интегралом Коши.

Пример 1. Вычислить интеграл .

4.4. Производные высших порядков от аналитической функции

Теорема 2. Однозначная и аналитическая функция в области имеет в этой области производные всех порядков, которые определя-ются по формуле

(2)

где .

Доказательство формулы (2) следует из интегральной формулы Коши путём дифференцирования под знаком интеграла, что возможно в силу аналитичности подынтегральной функции .

С помощью формулы (2) можно вычислять некоторые интегралы.

Пример 2. Вычислить интеграл , где .

.

4.5. Ряд Тейлора

Аналогично, как и для функций действительной переменной, аналити-ческую функцию внутри круга сходимости можно представить сходящимся степенным рядом

(3)

где .

Тогда из формулы (2) получаем

. (4)

Определение 1. Степенной ряд (3), у которого коэффициенты опреде-ляются по формулам (4), называется рядом Тейлора для функции .

Определение 2. Если , то точка называется нулем функции , а ряд Тейлора в окрестности этой точки имеет вид

.

Если к тому же , а , то точка называется нулем m -го порядка функции . В окрестности нуля m -го порядка аналитическая функции имеет вид

,

где .

Замечание. Ряды Тейлора для основных элементарных функций были приведены в лекции 70.

Пример 3. Разложить в ряд Тейлора функцию в окрест-ности точки .

Дата добавления: 2014-11-16