Лекция № 71. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной

3.1. Определение производной

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки z.

Определение 1. Если существует предел ,

то он называется производной функции и обозначается или , а функция называется дифференцируемой.

Теорема 1. Если функция определена в неко-торой окрестности точки и функции и имеют непрерывные частные производные, то функция будет дифферен-цируемой, если

(1)

Верно и обратное.

Условия (1) называются условиями Коши – Римана.

Пусть существует предел .

Так как этот предел не зависит от пути, по которому , то полагая , получаем

. (2)

Аналогично, полагая , имеем

. (3)

Сравнивая формулы (2) и (3), получаем условия (1).

Обратная часть теоремы. Пусть выполняются условия (1).

,

где при .

Преобразуем это выражение с учётом формул (1)

,

где при . Это означает, что предел существует и равен

.

Замечание 1. Из определения производной следует, что правила диф-ференцирования функции комплексной переменной такие же, как для функции действительной переменной.

3.2. Гармонические функции

Определение 2. Дифференцируемая функция комплексной переменной называется аналитической.

Пример 1. Показать, что функция является аналитической и найти её производную.

и тогда

Замечание 2. Аналогично можно показать, что таблица производных для функций комплексной переменной такая же, как и для функций действительной переменной.

Из условий Коши – Римана можно получить уравнения, которым удовлетворяют функции и . Продифференцировав первое условие по x, а второе – по y и сложив полученные результаты, получим

и аналогично - (4)

Определение 3. Функции, которые удовлетворяют уравнениям (4), называются гармоническими.

Если известна одна из функций или , то другую можно определить. Пусть известна, например, функция , тогда

где - произвольная точка, а - фиксированная.

Пример 2. По действительной части аналитической функции восстановить мнимую часть .

Имеем

В качестве пути интегрирования выберем ломаную, звенья которой параллельны координатным осям, тогда

где C - произвольная постоянная. Если задать условие , то , что определяет функцию

Дата добавления: 2014-11-16