Пример. 1 страница

Задание 1.1. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на 5.

Определим испытание и его результат, т.е. элементарное событие. Испытанием бросание трех игральных костей, результатом – одно из сочетаний очков на верхних гранях трех костей. Исследуемое событие А – сумма очков на трех верхних гранях делится на 5. Вероятность события А находится по формуле: .

Общее количество элементарных событий n можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней, и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем:

.

Количество элементарных событий m, входящих в состав события А, или благоприятствующих событию А, найдем, выписав все возможные результаты испытаний, и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на 5. Имеем:

В результате получим, что m= 43. Следовательно, искомая вероятность:

Задание 1.2. Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана только одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, что буквы появятся в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова «МАТЕМАТИКА». Так как элементарные события являются перестановками из 10 букв, то Некоторые буквы в слове «МАТЕМАТИКА» повторяются (М – 2 раза, А – 3 раза, Т – 2 раза). Поэтому возможны перестановки, при которых слово не меняется. Их число равно: =24.

Таким образом, .

Задание 1.3. (решается аналогично задаче 1.2).

Задание 1.4. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 2 белых шара;

б) меньше, чем 2 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Испытанием будет случайное вынимание 4 шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно:

.

а) - среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых шаров – 2 белых и 2 черных (т.к. вынимают 4). Используя правило умножения, получаем:

,

б) - среди вынутых шаров меньше, чем 2 белых. Это событие состоит из двух несовместных событий:

В ₁ – среди вынутых шаров 1 белый и 3 черных шара;

В ₂ - все вынутые шары – черные.

Следовательно, .

, .

; ; .

в) - среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров:

В ₁ – среди вынутых шаров 1 белый и 3 черных шара;

В ₂ - среди вынутых шаров 2 белый и 2 черных шара;

В ₃ - среди вынутых шаров 3 белых и 1 черный шар;

В ₄ - среди вынутых шаров 4 белых шара.

Прямое решение этой задачи приводит обычно к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события, а затем вычислить вероятность искомого.

- среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае

;

Тогда

Ответ: ; ;

Задание 1.5. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0,851, 0,751, 0,701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Испытание, т.е. работу за время Т, нужно рассмотреть на двух уровнях: на уровне устройства и на уровне элементов. Элементарные события определять не надо, так как их вероятности заданы.

а) - за время Т выходит из строя только один элемент:

- первый элемент выходит из строя;

- второй элемент выходит из строя;

- третий элемент выходит из строя;

- первый элемент не выходит из строя;

- второй элемент не выходит из строя;

- третий элемент не выходит из строя.

Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий и , получаем следующую формулу:

.

По условию,

= 0,851, , 0,701.

Тогда

, ,

.

Следовательно, получаем:

=0,418.

б) - за время Т выходит из строя хотя бы один элемент.

Так как событие определяется словами «хотя бы один», используем противоположное событие:

- за время Т все элементы работают безотказно.

.

Ответ: , .

Задание 1.6. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли 3 шара наугад, а из второй – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только 3 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются извлечение трех шаров из первой урны и двух шаров из второй. Элементарными событиями будут сочетания по 3 или 2 из 10 или 12 шаров соответственно.

а) - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые, или все черные. Определим для каждой урны все возможные события:

- из первой урны вынуты 3 белых шара;

- из первой урны вынуты 2 белых шара и 1 черный шар;

- из первой урны вынуты 1 белый шар и 2 черных шара;

- из первой урны вынуты 3 черных шара;

- из второй урны вынуты 2 белых шара;

- из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

- из второй урны вынуты 2 черных шара.

Таким образом,

.

Найдем количество элементарных событий и для первой и второй урн соответственно. Имеем:

, .

Найдем количество каждого из элементарных событий, определяющих следующие события:

: , : ,

: , : ,

: , : ,

: .

Следовательно,

.

б) - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае:

.

в) - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

- среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара.

Тогда: , .

Ответ: , , .

201. В банк поступило 6 заявлений от физических лиц на получение кредита. Вероятность получить первый кредит для каждого одинакова. Найти вероятности следующих событий:

а) будет выдано ровно 3 кредита;

б) будет выдано не менее двух кредитов.

202. Доля крупных заказов в строительной фирме составляет 40%. Фирма в месяц заключает в среднем 7 заказов.

Найти вероятности следующих событий:

а) фирме будет сделано 2 крупных заказа;

б) будет сделано не менее четырех крупных заказов.

203. В банк поступило 10 стодолларовых купюр. Какова вероятность того, что среди них окажется

а) 5 фальшивых купюр,

б) менее 5 фальшивых купюр, если известно, что на рынке 0,1% купюр фальшивых?

204. Коммерческий банк имеет 6 отделений, каждое из которых заказывает независимо друг от друга крупную сумму денег на следующий рабочий день с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что заявок на крупную сумму будет:

а) две;

б) не менее четырех.

205. Вероятность обращения клиента в банк за возвращением депозита 0,4. Найти вероятность того, что из 7 вип-клиентов банка за возвращением депозита обратится:

а) один клиент;

б) все клиенты.

206. Провайдер обслуживает 10 абонентов сети INTERNET. Вероятность того, что любой абонент захочет войти в сеть в течение часа, равна 0.002. Найти вероятность того, что в течение часа

а) более 7 абонентов попытаются войти в сеть,

б) не менее 7 абонентов попытаются войти в сеть.

207. В банк поступило 8 заявлений от юридических лиц на получение кредита. Вероятность получить кредит для каждого одинакова и равна 0,55. Найти вероятности следующих событий:

а) будет выдано ровно 2 кредита;

б) будет выдано не менее пяти кредитов.

208. Доля крупных заказов в строительной фирме составляет 72%. Фирма в месяц заключает в среднем 4 заказа. Найти вероятности следующих событий:

а) фирме будет сделано 2 крупных заказа;

б) будет сделано не менее двух крупных заказов.

209. Вероятность того, что кредит не вернут в банк, составляет 0,1. Найти вероятность того, что из 8 клиентов, получивших кредит, его не вернут:

а) один клиент;

б) все клиенты.

210. Фирма – импортер поставляет продукцию на 7 крупных предприятий города. Вероятность того, что этими предприятиями будет сделан заказ в отчетного периода, составляет 12%. Найти вероятность того, что в течение отчетного периода заказ будет сделан

а) более чем 6 предприятиями,

б) не будет сделан вообще.

Пример. Вероятность обращения владельцев транспортных средств в страховую компанию за возмещением составляет 0,8. Найти вероятность того, что из10 автовладельцев 9 обратятся в страховую компанию.

Решение.

Используем формулу Бернулли, которая принадлежит к схеме независимых повторных испытаний.

Проводится n независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью . Обозначим - вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз. Иногда говорят, что - вероятность того, что в n испытаниях было успехов. Тогда

.

Количество испытаний в данной задаче n = 10. Вероятность того, что будет предъявлен иск в страховую компанию ;

Найдем вероятность, что будет предъявлено 9 исков из 10, т.е. число успехов равно 9.

211. Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,8 и понижается с вероятностью 0,2. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении — с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что

а) фирма получит прибыль;

б) фирма получит прибыль, при этом известно, что курс доллара понизится.

212. В страховой компании 500 начинающих и 2000 опытных водителей. В среднем 10 % начинающих и 2 % опытных водителей в течение года попадают в аварию. Найти вероятность того, что

а) водитель попал в аварию;

б) это был опытный водитель.

213. Вероятность того, что клиент банка не вернет кредит в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса – 0,13. Вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что

а)случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит;

б) случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит в период экономического роста.

214. Курортная гостиница будет заполнена в июле с вероятностью 0.92, если будет солнечная погода, или с вероятностью 0.72, если будет дождливая погода. По оценкам синоптиков в данной местности в июле бывает 75% солнечных дней. Какова вероятность того, что

а) работа гостиницы будет рентабельной;

б) работа гостиницы будет рентабельной, если погода будет дождливой.

215. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный товар, равна 0,67, а при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит на рынок аналогичный товар в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что

а) новый товар будет иметь успех;

б) новый товар будет иметь успех при наличии на рынке конкурирующего товара

216. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация посредственная, и с вероятностью 0,10, когда ситуация «плохая». Чему равна вероятность того, что

а) экономика страны на подъеме;

б) экономика страны на подъеме при росте индекса экономического состояния.

217. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки. Первая организация представила 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

218. Инвестор приобрел акции трех компаний, причем его инвестиционный пакет состоит из 20 акций первой компании, 42 акций второй и 18 акций третьей. Вероятность того, что акции первой компании принесут прибыль, равна 0,5, второй -0,3, третьей- 0,7. Найти вероятность того, что

а) инвестор получит прибыль;

б) инвестор получит прибыль, если прогнозирует рост цен акций первой компании.

219. Курс гривны понижается в течение недели с вероятностью 0,6 и повышается с вероятностью 0,4. При повышении курса гривны фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,45; при понижении — с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что

а) фирма получит прибыль;

б) фирма получит прибыль, при этом известно, что курс гривны понизится.

220. Количество акций, представленных тремя различными предприятиями на финансовый рынок, относятся как 5:3:2. Вероятности того, что акции будут котироваться по 12 долл. за штуку для этих предприятий соответственно равны 0,3; 0,4; 0,7. Известно, что цена случайно выбранной акции составила 12 долл. Найти вероятность того, что эта акция представлена третьим предприятием.

Пример. Фирма – экспортер промышленной продукции собирается заключить контракт с крупным концерном на его поставку. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность подписания контракта оценивается аналитиками фирмы в 0,55, в противном случае – в 0,35. По оценкам аналитиков вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,4. Чему равна вероятность заключения контракта для фирмы – экспортера. И какова будет эта вероятность, если фирма – конкурент все таки выдвинет свои предложения.

Решение.

Пусть А – событие «фирма – экспортер заключит контракт»; H₁ – гипотеза «фирма-конкурент выдвинет свои предложения», H₂ – гипотеза «фирма-конкурент не выдвинет свои предложения». По условию,

условные вероятности по заключению контракта для фирмы-экспортера По формуле полной вероятности вероятность заключения контракта для фирмы – экспортера будет равна:

А вероятность того, что контракт будет заключен, если фирма – конкурент все таки выдвинет свои предложения найдем по формуле Байеса:

221. Закон распределения случайной величины имеет вид:

	-8	-4	-2
	0,3		0,2	0,1

Вычислить: , .

222. Закон распределения случайной величины имеет вид:

	-5
		0,2	0,1	0,3

Вычислить: , .

223. Закон распределения случайной величины имеет вид:

	-5	-3	-1
		0,1	0,2	0,3	0,2

Вычислить: , .

224. Закон распределения случайной величины имеет вид:

	-4	-1
	0,3	0,1		0,1	0,3

Вычислить: , .

225. Закон распределения случайной величины имеет вид:

	0,3	0,2		0,2

Вычислить: , .

226. Закон распределения случайной величины имеет вид:

	0,1	0,36	0,35	0,14

Вычислить: , .

227. Закон распределения случайной величины имеет вид:

	0,3	0,2	0,1

Вычислить: , .

Дата добавления: 2014-11-18