Неопределённый и определённый интегралы

.

.

.

Пример..

95.. 100..

94.. 99..

93.. 98..

92.. 97..

91.. 96..

Исследование функций и построение графиков

91-100. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

1. Область определения: .

2. , , -следовательно, функция не является четной, нечетной, периодической.

3. Исследуем характер точки разрыва и поведение функции вблизи этой точки:

,

Таким образом, в точке функция терпит разрыв второго рода, а прямая является вертикальной асимптотой.

4. Определим уравнение наклонной асимптоты:

, где

,

Итак,

-наклонная асимптота.

5. Определим критические точки.

,

при или , то есть при или , - других критических точек в области определения функции нет. Значения функции в критических точках:

, .

6. Найдем вторую производную:

, следовательно, точек перегиба нет.

7. Внесем все полученные данные в таблицу, определим поведение функции на различных участках и построим график.

x
	+		-		-		+
	-	-	-		+	+	+
y		max				min

Положительные значения первой производной соответствуют промежуткам возрастания, отрицательные – промежуткам убывания. Положительные значения второй производной соответствуют промежуткам вогнутости функции, отрицательные – промежуткам выпуклости. Точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием, является точкой максимума, а точка, в которой убывание функции сменяется возрастанием – точкой минимума.

101-110. Найти неопределённые интегралы.

101. а). ; б). ; в). .

102. а). ; б) ; в). .

103. а). ; б) ; в). .

104. а). ; б) ; в). .

105. а). ; б) ; в). .

106. а) ; б) ; в) .

107. а) ; б) ; в) .

108. а) ; б) ; в) .

109. а) ; б) ; в) .

110. а) ; б) ; в) .

Пример. Найти неопределённые интегралы.

а) ; б) ; в) .

а) Данный интеграл не является табличным. Поэтому предварительно сделаем элементарные математические преобразования, в данном случае воспользовавшись формулой сокращенного умножения, а потом таблицей интегралов основных элементарных функций, получим:

б) пусть требуется найти интеграл вида , где подынтегральная функция непрерывна. Сделаем замену , тогда . Получим . В найденном интеграле перейдем к прежней переменной , воспользовавшись равенством .

.

в) . Имеем интеграл вида . Применим формулу интегрирования по частям :

.

111-120. Вычислить определенные интегралы

111. а) ; б) в) .

112. а) ; б) ; в) .

113. а) ; б) в) .

114. а) ; б) в) .

115. а) ; б) в) .

116. а) ; б) в) .

117. а) ; б) ; в) .

118. а) ; б) в) .

119. а) ; б) в) .

120. а) ; б) в) .

Дата добавления: 2014-11-18