Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Числовые характеристики распределения случайных величин




 

В основе математической статистики лежат понятия генеральной и выборочной совокупностей.

Генеральная совокупность – это множество всех значений (исходов) случайной величины, которые она может принять в процессе наблюдения.

Выборочная совокупность (выборка) – это множество наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности.

1. Генеральная совокупность.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех её возможных значений на их вероятности, т.е.

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины понимается число:

или .

Математическое ожидание случайной величины – это среднее её значение по генеральной совокупности.

Основные свойства математического ожидания.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Случайные величины , называются независимыми, если для любых значений .

Следствия.

Если случайные величины , независимы, то:

1. ,

2. .

Теоретической (генеральной) дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания, т.е.

1. для дискретной случайной величины:

или ;

2. для непрерывной случайной величины:

или .

Дисперсия является мерой рассеяния случайной величины относительно средней.

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим (стандартным) отклонением этой величины, т.е.

.

Стандартное отклонение показывает, насколько в среднем отклоняется случайная величина в совокупности относительно средней.

Свойства дисперсии:

1. ,

2. ,

3.

Следствия.

Если случайные величины , независимы, то:

1. ,

2. .

и являются числовыми характеристиками генеральной совокупности.

Нормальное распределение случайной величины зависит только от двух параметров: математического ожидания и дисперсией . Это обозначается как .

Вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины от среднего по модулю меньше , есть

, ,

где - функция Лапласа.

2. Выборочная совокупность.

Пусть из генеральной совокупности с распределением извлечена выборка объёма . Считаем, что выборочные наблюдения независимы и имеют одинаковые распределения.

Выборочной средней называется среднее арифметическое значение случайной величины в выборке, т.е.

.

Выборочной дисперсией (вариацией) называется среднее арифметическое квадратов отклонения случайной величины от среднего значения, т.е.

или .

Свойства выборочной дисперсии:

1. ,

2. ,

3. .

Значения и являются числовыми характеристиками выборочной совокупности.

Из условия, что выборочные наблюдения независимы и имеют одинаковые распределения, вытекают следующие соотношения:

, , .

Центральная предельная теорема закона больших чисел устанавливает, что распределение средней выборочной при достаточно большом является нормальным, т.е.

,

при этом

, .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 787; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.