Частотные критерии устойчивости

ЛЕКЦИЯ №7

Частотные критерии дают возможность работать с системами, имеющими запаздывание без разложения запаздывания в упрощающие ряды.

А) критерий Михайлова

Пусть САР описывается однородным ДУ Q^c(p)^.у = 0. Собственный оператор системы Q^c(p) переведем в частотную область, для этого необходимо применить преобразование Фурье (формально заменить р на jω):

Q^c(p) ® Q^c(jw) = .

Формулировка критерия: система устойчива, если годограф Q^c(jω)

U(ω)

jV(ω)

n = 4

ω = 0

(годограф Михайлова) начинается на действительной положительной полуоси и огибает против часовой стрелки начало координат, последовательно проходя n квадрантов. В том случае, если система имеет запаздывание, то ее годограф может представлять собой раскручивающуюся спираль, которая последовательно проходит бесконечное число квадрантов.

Рис. 7.1. Примеры годографов Михайлова САР 4-го порядка:

1 – САР устойчива; 2 – САР на границе устойчивости; 3, 4 – САР неустойчива

U(ω)

jV(ω)

n = 4

ω=0

n = 5

n = 3

n = 2

n = 1

Рис. 7.2. Примеры годографов Михайлова устойчивых систем различного порядка

t bFBLBQYAAAAABAAEAPMAAAD1BQAAAAA= " stroked="f">

Рис. 7.3. Пример годографа Михайлова устойчивой САР с запаздыванием

U(ω)

jV(ω)

ω = 0

Для оценки устойчивости точный вид годографа Михайлова знать необязательно, а необходимо знать точки пересечения с его осями и последовательность их расположения, т.е. значения ω, которым они соответствуют. Для нахождения этих точек можно воспользоваться двумя условиями:

= 0 – условие пересечения с осью V(ω);

= 0 – условие пересечения с осью U(ω);

(когда оба условия выполняются при одинаковых значениях ω, то система находится на границе устойчивости).

Процедура нахождения точек:

1. Решая уравнение, описывающее условие пересечения с одной из осей, определяем значения частот, соответствующих точкам пересечения, как корни этого уравнения.

2. Подставляем значения найденных частот в другое выражение, найдем точки пересечения с осью, соответствующие этим частотам.

Б) критерий Найквиста

Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по годографу (АФЧХ) соответствующей разомкнутой системы с передаточной функцией: W^pc(p) = . Это произведение передаточных функций, входящих в замкнутый контур САР.

В частотной области она принимает вид:

W^pc(jw) = = A^pc(w) = U^pc(w) + jV^pc(w).

Важно: A^pc(w) = A^p(w); j^pc(w) = + j^p(w).

Индекс «о» обозначает характеристику объекта, «р» – регулятора, «рс» – разомкнутой системы.

Формулировка критерия (для случая, когда САР в разомкнутом состоянии устойчива): замкнутая САР устойчива, если годограф (АФЧХ) разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (–1; j0).

Примеры:

j

ω = 0

ω = ω_гу

∞ ← ω

-1

Рис. 7.4. Примеры АФЧХ статических разомкнутых систем. Соответствующая замкнутая САР: 1 – устойчивая; 2 – на границе устойчивости; 3 – неустойчивая

Рис. 7.6. Пример АФЧХ астатической разомкнутой системы второго порядка и построения условной дуги для определения охвата им точки (–1; j0)

j

-1

К_р1 < К_р2 К_р2 = 2К_р1 A^p(ω) = К_р

Рис. 7.7. Пример изменения АФЧХ разомкнутой САР со статическим объектом и П- регулятором при изменении коэффициента передачи регулятора

j

ω = ω_гу

0←ω

-1

Рис. 7.5. Примеры АФЧХ астатических разомкнутых систем первого порядка. Соответствующая замкнутая САР: 1 – устойчивая; 2 – на границе устойчивости; 3 – неустойчивая

j

-1

Условная дуга бесконечного радиуса

w®¥

На основе критерия Найквиста вводят понятие запасов устойчивости САР по модулю и по фазе. Коэффициент запаса устойчивости по модулю САР показывает насколько должна измениться длина радиус-вектора АФЧХ, т.е. A^c(ω) при неизменном j^c(ω) = –π, чтобы система вышла на границу устойчивости.

Запас устойчивости по фазе показывает, насколько должна измениться фаза АФЧХ при неизменной, равной единице, ее амплитуде – А^рс(ω) = 1 (длине радиус-вектора) чтобы система вышла на границу устойчивости.

j

ω = 0

-1

A^c(ω) = 1

Запас устойчивости по амплитуде DА^ГУ

Запас устойчивости по фазе Dj^ГУ

Запасы устойчивости САР по амплитуде (модулю) DА^ГУ и Dj^ГУ по фазе, можно пересчитать в запасы ее устойчивости по коэффициенту передачи и времени запаздывания объекта : ,

Рис. 7.8. Иллюстрация определения

запасов устойчивости

где w_–p – значение частоты, при которой фазовый сдвиг в разомкнутой САР равен –p;

w₁ – значение частоты, при которой значение АЧХ разомкнутой САР равно 1;

А(w_–p) – значение АЧХ разомкнутой САР при частоте w = w_–p.

ЛЕКЦИЯ №8

Области устойчивости САР в пространстве параметров регулятора и объекта

Для практики важно ответить на следующие вопросы:

1) при каких вариациях настроек параметров регулятора САР с заданным объектом будет сохранять устойчивость?

2) при каких вариациях параметров объекта САР с заданным регулятором и с рассчитанными настройками (фиксированными) будет сохранять устойчивость?

Геометрическое место точек в пространстве варьируемых параметров регулятора или объекта, при которых система будет находиться на границе устойчивости – называется границей устойчивости САР в этом пространстве параметров. Обратите внимание на двойственность понятия «граница устойчивости».

Граница устойчивости может быть найдена аналитическими, либо алгоритмическими методами (в частности – экспериментально).

Аналитические выражения, описывающие границу устойчивости, могут быть получены на основе критериев устойчивости. Поскольку при наличии запаздывания использование аналитических критериев затруднительно, то воспользуемся частотными критериями и запишем системы уравнений, которые позволяют найти необходимые аналитические выражения:

из критерия Найквиста, в полярной системе координат;

а)

из критерия Найквиста, в прямоугольной системе координат;

б) из критерия Михайлова (8.1)

Пример. Воспользуемся критерием Михайлова и найдем аналитическое выражение для границы устойчивости САР с объектом первого порядка с запаздыванием и ПИД-регулятором.

В п. 1.5.3. мы нашли собственный оператор такой САР:

Q^c(p) = T_изp(T_op + n) + k_ok_p(T_изT_прp² + T_изp + 1) .

В частотной области он принимает вид:

Q^c(jw) = T_изjw(T_ojw + n) + k_ok_p(-T_изT_прw² + T_изjw + 1)(coswt_o – jsinwt_o).

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, получим:

ReQ^c(jw) = = -T_изT_ow² - k_ok_p(T_изT_прw² + 1)coswt_o – T_изwk_ok_psinwt_o

ImQ^c(jw) = = T_изnw + k_ok_pT_изwcoswt_o – k_ok_p(T_изT_прw²sinwt_o – sinwt_o)

В соответствии с условиями устойчивости (8.1) граница устойчивости будет задаваться следующей системой параметрических уравнений:

(8.2)

Пусть мы хотим построить границу устойчивости в пространстве параметров регулятора: k_p, , T_пр. Параметры объекта принимаются постоянными: k₀, T₀, τ_0, ν.

Порядок построения границ:

1) задаемся диапазоном изменения ω_гу. Для простейших одноконтурных систем можно принять ω_гу Î ;

2) выбираем два из трех параметров, в плоскости которых будем строить границу устойчивости, чаще это k_p, . Третий параметр будем перебирать, получая семейство границ: T_пр = T_прi, ;

3) решаем (8.2) относительно выбранных параметров k_p, ;

4) подставляем в уравнение (8.2) численные значения параметров объекта, а также Т_прi, и перебираем ω_гу в выбранном диапазоне с мелким шагом, ждем, когда оно обратится в ноль.

5) строим границу устойчивости, подставляя ω_гу в выражения для k_p, ;

6) изменяем Т_пр и повторяем процедуру с п. 2.

k_p

Область устойчивости САР

Область неустойчивости САР

ГУ для САР с И-регулятором

ГУ для САР с П-регулятором

ГУ для САР с ПИ-регулятором

ОУ без регулятора

=

Рис. 8.1

k_p

Область устойчивости САР

Область неустойчивости САР

Т_пр4

Т_пр3

Т_пр2

Т_пр1

Т_пр1 < Т_пр2 < Т_пр3; Т_пр4 >> Т_пр3

Рис. 8.2

Важно: для И- регулятора и астатического объекта области устойчивости нет, т.е. система структурно неустойчивая. Таким образом, интегрирующий регулятор с астатическим объектом применять нельзя – так как система будет неустойчива при любом значении настроечного параметра регулятора.

k_p

Область устойчивости САР

Область неустойчивости САР

Т_пр3

Т_пр2

Т_пр1 = 0 ПИ – рег.

Рис. 8.3. Пример границ устойчивости для астатического ОУ

Граница устойчивости в плоскости параметров ОУ позволяет оценить диапазоны их возможного изменения САР до наступления неустойчивости. Это важно для обеспечения работоспособности САР в реальных условиях.

Важно: увеличение значения приводит к уменьшению области устойчивости системы, т.е. к усложнению управления ОУ. Выше был рассмотрен аналитический подход к построению границы устойчивости. Рассмотрим алгоритмический подход, в основе которого лежит специальный эксперимент (может

k₀

Область устойчивости САР

Область неустойчивости САР

k_p1

k_p2

k_p3

k_p1 < k_p2 < k_p3

k_оi

(t_o/T_o)_i

D(t_o/T_o)^ГУ

Рис. 8.4. Пример границ устойчивости САР

в пространстве параметров объекта

проводиться на цифровых или аналоговых моделях, а при необходимости – на реальном объекте).

Целесообразный алгоритм нахождения границы устойчивости (см. рис. 8.5):

1) настроить Т_из ® ¥, т.е. взять П-регулятор и, изменяя k_р, найти ;

2) диапазон k_p Î [0, ] разбить на 5 – 7 интервалов;

3) для значений k_р соответствующих выбранным интервалам разбиения, подбираем такие значения , при которых переходные процессы будут слабозатухающими или слаборасходящимися.

k_р

для И-регулятора; для П-регулятора

Рис. 8.5

ЛЕКЦИЯ №9

АНАЛИЗ КАЧЕСТВА САР

Ошибки стабилизации и воспроизведения САР

Входными воздействиями САР являются задающие и возмущающие воздействия (переменные). Они принципиально отличаются друг от друга тем, что в первом случае регулируемые переменные САР должны по возможности более точно соответствовать входным (задающим) переменным, во втором случае – не зависеть от входных (возмущающих) воздействий. Изменение регулируемой переменной при указанных входных воздействиях, описывается следующим уравнением движения:

y(t) = .

Подчеркнем, что для линейных систем аддитивные составляющие и y_f можно рассматривать независимо. Поэтому и ошибку регулирования Δy можно также рассматривать как сумму двух независимых составляющих:

Dy = y^зд - y = Dy_воспр + Dy_стабил,

где Dy_воспр – ошибка воспроизведения, т.е. составляющая ошибки Δy, возникающая в САР при изменяющемся y^зд и неизменном f;

Dy_стабил – ошибка стабилизации, т.е. составляющая ошибки Δy, возникающая в САР при изменяющемся f и неизменном y^зд.

Сама ошибка Δy и каждая из указанных ошибок может в свою очередь быть подразделена на составляющие: ошибки в переходных и установившихся процессах.

Качество переходных процессов в САР при ступенчатых входных воздействиях

Замечание: принято переходные процессы в САР классифицировать по их основным признакам: апериодические и колебательные. Иногда вводят третий вид переходного процесса – апериодический с колебательной составляющей.

На рис. 9.1 представлены характерные варианты переходных процессов в САР при ступенчатых изменениях y^зд и f, при нулевых начальных условиях по каналам задания и возмущения (переходные характеристики САР по этим каналам), соответствующие видам ПП.

t

y

t

f

t

y

y^зд

t

Рис. 9.1

Прямые показатели качества переходных процессов (переходных характеристик) и их определение

Под прямыми показателями качества понимают некоторые специальные характеристики переходного процесса в САР вызванного ступенчатым входным воздействием при нулевых начальных условиях, которые определяются непосредственно из графика переходной характеристики. Среди них наиболее часто рассматриваются:

1. Максимальное динамическое отклонение Δy^max (здесь и далее см. рис. 9.2).

t

y

t_рег

Δy^max º Dy₁

Δy₂

Δy₃

Δy⁰

Объект с само- выравниванием

Δy^ст

ЗНО

y

f

y^зд

Δy^ст

t_рег

Δy^max º Dy₁

Δy₂

ЗНО

t

Δy₃

t

t

Рис. 9.2

2. Время переходного процесса (время регулирования) t_рег. Под временем переходного процесса будем понимать отрезок времени от момента изменения входного воздействия до момента, когда переходный процесс войдет в зону незначимых отклонений (ЗНО) и больше не выедет из нее. ЗНО определяет такие отклонения y от y^зд, которыми для конкретного ОУ можно пренебречь.

3. Динамический коэффициент регулирования. Используется только для переходных процессов по каналу возмущения и статических (с самовыравниванием) ОР. Характеризует эффективность подавления регулятором последствий возмущений, сравнивая отклонения в САР без регулятора («чистый» объект) и с регулятором:

R_д = .

4. Коэффициент перерегулирования (характеризует колебательные переходные процессы):

R_п =

5. Степень затухания:

Y = (все отклонения берутся по модулю).

В тех случаях, когда ПП имеет ошибку статизма, которая превышает ЗНО, то время регулирования считается: а) по времени вхождения в зону равную ЗНО относительно ошибки статизма, если нас интересует время окончания переходной со-

6. Ошибка статизма Δy^ст – ошибка Δy после окончания переходных процессов, которую принципиально невозможно устранить используемому регулятору.

t

y

Δy^max

Экспонента

Δy^max

Δy^max

ставляющей процесса; б) время переходного процесса стремится к бесконечности, если нас интересует время вхождения в ЗНО.

Нюансы: в том случае, если ПП относится к «третьему» типу, то если мы хотим оценить колебательную составляющую, то необходимо выделить апериодическую и относительно нее определить R_п или Ψ.

Регламентные зоны переходного процесса

Для конкретных ОУ, исходя из требований технологий и эксплуатации технологических машин, могут быть заданы конкретные требования к отклонениям (ошибкам регулирования) Δy. Они могут относиться:

а) к предельно допустимым динамическим отклонениям ;

б) к отклонениям, которыми можно пренебречь, т.е. ЗНО;

в) к времени существования допустимых отклонений за пределами ЗНО - t_{пп доп}.

Эти заданные, предельные, допустимые значения определяют регламентную зону переходного процесса (обычно симметричную).

t

Δy

t

Δy

ЗНО

Регламентная зона переходного процесса

t_{пп доп} = t_рег

Рис. 9.3. Вид регламентной зоны ПП и примеры переходных процессов,

которые 1 – удовлетворяет регламентной зоне;

2 – не удовлетворяет регламентной зоне (по Δy^max);

3 – не удовлетворяет регламентной зоне (по Δy^стат);

4 – не удовлетворяет регламентной зоне (по t_рег)

ЛЕКЦИЯ №10

Интегральные показатели качества

Прямые показатели качества характеризуют переходные процессы с разных сторон, но их весьма затруднительно использовать в качестве критериев при синтезе (оптимизации САР), поскольку основные из них противоречат друг другу. Для задач синтеза чаще используют интегральные показатели, которые характеризуют переходный процесс в целом. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся. 1. Линейный интегральный показатель І₁ = , Dy(t) = y^зд – y.

Δy

S

t

f

Δy

+

+

^-

t

t

Рис. 10.1

Характеризует площадь под кривой ПП. Применяется только для оценки качества апериодических ПП или используется в совокупности с другими показателями (см. рис. 10.1).

2. Модульный интегральный показатель (см. рис. 10.2):

І₂ = .

3. Интегральный квадратичный показатель (см. рис. 10.3):

І₃ = .

По сравнению с I₂ в I₃ большие отклонения «штрафуются» более, малые – меньше. Очень удобно использовать при аналитических расчетах, т.к. этот интеграл можно «взять».

f

t

Δy, |Δy|

t

+

+

+

t

Δy

t

f

Рис. 10.2 Рис. 10.3

4. Интегральный квадратичный показатель, учитывающий величину скорости протекания переходного процесса

І₄ = ,

где T_y – весовой коэффициент, приводящий слагаемые показателя к одной единице измерения и отражающий своей величиной степень компромисса между требованиями минимизации площади под Dy²(t) и под .

В принципе, в состав критерия может входить большое количество производных.

5. Другие виды интегральных показателей качества

Один из характерных критериев, который требует с одной стороны минимизации площади под y²(t), с другой – под y(t), имеет вид:

І = , где a - весовой коэффициент.

Такой критерий употребляют, например, для анализа и синтеза систем многокомпонентного непрерывного дозирования.

Отметим, что при аналитических методах расчета, верхний предел интеграла – бесконечность. При использовании методов имитационного моделирования, верхний предел является конечным и равен времени моделирования. Это надо учитывать.

Статизм и астатизм типовых САР

№ п/п	Свойства канала регулирования объекта	Алгоритмы регулирования	Свойства САР
по каналу возмущения	по каналу задания
1.	Статический (с самовыравниванием)	П, ПД	статическая	статическая
2.	Статический (с самовыравниванием)	И, ПИ, ПИД	астатическая первого порядка	астатическая первого порядка
3.	Астатический (без самовыравнивания)	П, ПД	статическая	астатическая первого порядка
4.	Астатический (без самовыравнивания)	ПИ, ПИД	астатическая	астатическая второго порядка

Замечание: САР с астатическим объектами и И-регулятором структурно неустойчива.

Примеры переходных процессов в статических и астатических САР при ступенчатых и линейно возрастающих входных воздействиях представлены на рис. 10.4.

t

f

t

y^зд

t

f

t

y

Разомкнутая САР

Статическая САР

Астатическая САР

y^зд

y

t

Статическая САР

Астатическая САР

t

t

y

Статическая САР

Астатическая САР II порядка

Астатическая САР I порядка

y^зд

y

Разомкнутая САР

Статическая САР

Астатическая САР I порядка

Астатическая САР II порядка

t

Рис. 10.4. Переходные процессы в статических и астатических САР

при ступенчатых и линейно возрастающих входных воздействиях

Понятие о грубости и чувствительности САР

Система называется грубой (в смысле Андронова) в том случае, если при малых вариациях ее параметров, свойства системы, в частности, показатели качества, также изменяются мало.

Система (1) при оптимальных настройках и неизменных свойствах объекта обладает более низкими качественными показателями. Однако, если k₀ начинает изменяться в достаточно заметных диапазонах, то показатели качества системы (1) меняются сильно. Показатели качества системы (2) – незначительно. В целом, среднее значение показателя качества у системы (2) может оказаться выше, чем у системы (1). Кроме того, для системы (1) изменение k₀ может привести не только к ухудшению I, но и к потере устойчивости.

Для практики промышленных систем управления грубость системы фактически означает ее работоспособность. Негрубые системы в промышленности неработоспособны.

Система (3) совсем негрубая.

В тех случаях, когда для синтеза системы используются модели объекта с точечными (фиксированными) оценками параметров объекта, и есть уверенность, что свойства объекта не изменяются в больших диапазонах, целесообразно проверять грубость (работоспособность) системы при вариациях параметров объекта, например ± 20 %. В последнее время, вместо тер-

I

k₀k_р

I₁

I₂

I₃

Рис. 10.5

мина «грубость» часто используется термин «робастность».

Понятие грубости трактуется как качественное понятие. Для количественной оценки влияния вариаций параметров объекта и регулятора на показатели качества системы, используется понятие чувствительности САР (САУ). В общем случае, чувствительность системы рассматривается как полная производная выбранного показателя качества САУ по всем ее параметрам. При этом частные производные по конкретному параметру, являются функциями чувствительности по этому параметру.

ЛЕКЦИЯ №11

Дата добавления: 2014-11-08