Предел функции

I Общее определение

Договоримся о терминологии. Термин «число » означает как обычное число, так и один из символов: или . Термин «точка » означает как конченую точку, так и «бесконечно удаленную»: , или . При этом под окрестностью такой «бесконечно удаленной» точки понимается интервал или объединение этих интервалов соответственно (при произвольном ).

Окрестностью же конечной точки понимаем любой интервал, содержащий эту точку. Для простоты формулировок и для бесконечно больших последовательностей будем говорить: «последовательность сходится (к или )».

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки (за исключением, быть может, самой точки ) и возьмем из этой окрестности последовательность точек

отличных от и сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

и можно ставить вопрос существования ее предела.

Определение 1 (язык последовательностей). Число называют пределом функции в точке (или при ) и пишут

(или: при ),

если для любой сходящейся к последовательности (1) значений аргумента , отличных от , соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу .

Геометрический смысл равенства : график функции в окрестности точки приближается (стремится) к точке .

Пример 1. Вычислим предел в точке . Рассмотрим произвольную последовательность и . Для соответствующей последовательности значений функции имеем . Таким образом, .

Пример 2. Покажем, что предел функции при не существует. Рассмотрим две последовательности значений аргумента с членами и . Очевидно, что . При этом для последовательностей значений функции:

,

.

Таким образом, для двух сходящихся к 0 последовательностей значений аргумента соответствующие последовательности значений функций имеют разные пределы. А это по определению предела функции и означает, что не существует.

II Частные случаи. Важные понятия

А) Предел на бесконечности ().

Определение 2.

.

Аналогичное определение и для .

Пример 3. , . Рассмотрим . Тогда для последовательности значений функции будем иметь: , т.к. - б.б., а - ограничена, значит , т.е. . Это означает, что .

Нетрудно убедиться, что и . Для тех функций, для которых , можно писать . Напротив, писать нельзя, ибо , а .

Геометрическая иллюстрация: конечный предел функции на означает наличие у графика функции горизонтальной асимптоты на (на ).

В) Бесконечно малые функции ().

Определение 3. Функцию называют бесконечно малой (б.м.) в точке (или: при ) и пишут « при », если , т.е.

.

Например, в предыдущем пункте мы показали, что при .

Основной результат дает следующая теорема.

Теорема 1. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда разность есть б.м. при :

при .

С) Бесконечно большие функции ().

Определение 4. Функцию называют бесконечно большой (б.б.) в точке (при ), если или , т.е.

- б.б. последовательность опреде-ленного знака.

Все свойства б.м. и б.б. последовательностей остаются справедливыми и для б.м. и б.б. функций. Приведем лишь некоторые из них.

Теорема 2. Для того, чтобы функция была бесконечно большой в точке необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно малой в этой же точке.

И два свойства.

1) Если при , а - ограничена в некоторой окрестности точки , то произведение при .

2) Если - б.б. в точке , а такова, что , то произведение есть б.б. функция при .

Например, в точке , а многочлен есть б.б. на , ибо .

Эталонные б.б. и б.м. функции приведем в таблице.

б.м
б.б.

Так же как и б.б. последовательности, б.б. функции можно упорядочить по их порядку роста: при

.

III Односторонние пределы

Рассмотрим функцию . Для произвольной б.м. последовательности положительных чисел рассмотрим последовательность . Как произведение ограниченной на б.м., она сходится к нулю. Соответствующая последовательность значений функции не имеет предела. Это означает, что не существует. Однако, и имеем , а для и - .

Такая ситуация характерна для многих функций, у которых нет предела в какой-либо точке, что и привело к появлению понятия односторонних пределов.

Определение 5. Пусть

.

Тогда число называют правым пределом (пределом справа или правосторонним пределом) функции в точке и пишут: или .

Определение левого предела аналогично, только требование заменяют требованием . Обозначения:

или .

Если , то иногда вместо пишут . Например, , .

Сформулируем теорему, на которой базируется использование односторонних пределов.

Теорема 3. Для существования предела необходимо и достаточно существования порознь и равенство односторонних пределов: .

IV Теоремы о пределах функций

Теорема 4. Пусть у функции существует . Тогда в некоторой окрестности точки (за исключением, быть может, самой точки ) . Более того, .

Теорема 5. Пусть у функции существует конечный предел при . Тогда в некоторой окрестности точки функция ограничена.

Теорема 6. Функция имеет предел в каждой точке числовой прямой, причем .

Теорема 7 (операции над пределами). Пусть функции и имеют в точке конечные пределы и соответственно. Тогда в этой точке имеют конечные пределы и функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) (при ). При этом имеют место следующие равенства:

,

(здесь - символ арифметической операции).

Для доказательства рассмотрим - произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к .

В силу существования пределов функций и соответствующие последовательности значений функций и имеют пределы и . Тогда, используя теорему 2 §7, получим, что последовательность сходится к . Согласно определению предела функции это означает, что .

Теорема 8 (предельный переход в неравенствах). Пусть функции и имеют в точке конечные пределы и в некоторой окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки) . Тогда и . В частности, если (), то и ().

Теорема 9. Если и в некоторой окрестности точки (за исключением, быть может, самой точки) , то .

Теорема 10 (о замене переменной). Пусть хотя бы одна из функций или является строго монотонной и пусть существуют пределы и . Тогда и у сложной функции существует предел в точке , причем

.

Теорема 11 (пределы элементарных функций). Пусть - элементарная функция и точка вместе с некоторой окрестностью. Тогда (в силу непрерывности элементарных функций).

Теорема 12. Всякая ограниченная монотонная на промежутке функция имеет в каждой точке промежутка конечные односторонние пределы.

Пример 4.

,

.

Пример 5.

а) ; б) .

Путем деления числителя и знаменателя на самое быстрорастущее слагаемое, перейдем от б.б. функций к б.м. функциям и получим результат:

а) ;

б) .

Замечание. Кроме определения предела функции на «языке последовательностей», существует (равносильное) определение предела функции на т.н. «языке ». Некоторые из теорем о пределах удобнее доказывать именно на этом языке.

Дата добавления: 2014-11-08