Бесконечно большие последовательности и их свойства

I Два определения

Определение 1 (язык «»). Последовательность называют бесконечно большой (б.б.) и пишут , если

.

Иными словами становится и остается больше любого наперед заданного сколь угодно большого числа.

Раскрывая неравенство с модулем, получим геометрическую иллюстрацию этого понятия.

Определение 2 (язык «окрестностей»). Последовательность называется б.б., если вне любой (сколь угодно большой) -окрестности нуля содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера (зависящего от ). Другими словами, внутри такой окрестности содержится лишь конечное число членов .

Замечание. Если члены б.б. последовательности положительны (отрицательны), то можно писать .

О таких б.б. говорят, что они определенного знака.

II Две эталонных б.б.

1. - бесконечно большая. Примеры:

2. - бесконечно большая. Примеры: .

Между б.б. и б.м. последовательностями существует естественная связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы последовательность была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была бесконечно малой.

Докажем, например, необходимость. Пусть - б.б. Возьмем произвольное и положим . Существует номер , начиная с которого . Тогда . Итак, . Это означает, что

.

III Свойства б.б. последовательностей

1. Пусть - б.б. Тогда:

а) - неограниченна;

б) и - бесконечно большие;

в) - бесконечно большая;

г) если , то - бесконечно большая;

д) если , то - бесконечно большая;

2. Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая.

Замечание 1. Сумма, разность и частное бесконечно больших может быть каким угодно.

Пример. Любой многочлен от есть б.б. Покажем это на конкретном примере:

.

Так как - эталонная б.б., а , то - б.б.

Замечание 2. Запишем ряд б.б., отношения которых является б.м.:

Запись означает, что . Докажем, например, что . Обозначим и . Тогда для

, т.к. . Следовательно, и .

Доказательство того, что

и

проведем позже, используя т.н. правило Бернулли-Лопиталя.

Лекция 4

Дата добавления: 2014-11-08