Предел последовательности

I Три определения

Определение 1. Число называют пределом последовательности и пишут , если последовательность есть бесконечно малая.

Используя определение 1 предыдущего параграфа, можно дать еще и такое определение предела.

Определение 2 ( язык«» ). Число называют пределом последова- тельности , если

.

Последнее неравенство с модулем равносильно двойному неравенству или . Другими словами, . Получаем еще одно определение предела.

Определение 3 (язык «окрестностей»). Число называют пределом последовательности , если любая (сколь угодно малая) -окрестность числа содержит все члены последовательности, начиная с некоторого номера, другими словами, вне такой окрестности содержится лишь конечное число членов последовательности .

Замечания.

1. Из определений следует, что и , если .

2. Если для последовательности существует предел (в указанном выше смысле), то она называется сходящейся. В противном случае последовательность называется расходящейся. Примерами расходящихся последовательностей могут служить: .

3. Определению 1 можно придать другую форму, более удобную в некото-рых случаях:

, где при .

Такая форма позволяет найти предел такой, например, последовательности:

.

4. (если существует) не зависит от любого конечного числа членов последовательности .

II Свойства сходящихся последовательностей и их пределов

1. Если последовательность сходится, то она ограничена (это свойство дока-зывается также, как аналогичное свойство б.м.)

2. Пусть . Тогда:

а) ;

б) ;

в) .

3.

4. Если , то все члены последовательности , начиная с некоторого номера, также положительны, и, более того, эти члены отграничены от нуля: .

Для доказательства достаточно в определении 3 положить . Очевидно, что подобное свойство справедливо и для .

5. Если и , то - ограничена.

III Примеры вычисления пределов

1.

, ибо , а - эталонная б.м.

2. - это сумма первых членов геометрической прогрессии . Из элементарной математики известна формула для этой суммы

.

Если , то и . Значит . Если , то имеет вид: 1, 0, 1, 0, … и предела не имеет. Остальные случаи рассмотрим позже.

Задача (для самостоятельного решения). Пусть . Найти (если существуют) пределы следующих последовательностей: а) ; б) ; в) ; г) .

Дата добавления: 2014-11-08