Бесконечно малые последовательности и их свойства

I Два определения

Определение 1 (язык «e-N»). Последовательность называют бесконечно малой (б.м.), если для любого (сколь угодно малого) положительного числа e найдется номер N=N (e) (зависящий, вообще говоря, от e) начиная с которого выполняется неравенство .

Используя квантор всеобщности " и квантор существования $, это определение можно записать следующим образом:

.

Для дальнейшего нам понадобится одно важное понятие. Вот его определение:

интервал вида называется e -окрестностью точки .

Неравенство , фигурирующее в определении 1, равносильно двойному неравенству , что означает следующее: . Теперь можем дать второе определение (равносильное первому).

Определение 2 (язык «окрестностей»). Последовательность называется б.м., если любая (сколь угодно малая) e -окрестность нуля содержит все члены последовательности, начиная с некоторого номера N (e) (зависящего, вообще говоря, от e).

Из определения 2 можно сделать вывод: вне любой (сколь угодно малой) e -окрестности нуля содержится лишь конечное число членов б.м. последовательности.

Для б.м. последовательности принято обозначение (читается «о малое от 1»), иногда уточняют, добавляя: n® ¥.

II Две эталонные б.м.

1) при a > 0. Примеры: .

2) при . Примеры: .

Доказательство первого утверждения

Возьмем и зафиксируем число . Надо найти номер , начиная с которого

.

В качестве номера можно взять , ибо если т.е. и получаем . Так как такой номер можно найти , то тем самым доказана бесконечная малость последовательности .

Второе утверждение доказывается аналогично, только для решения показа-тельного неравенства используются логарифмы.

III Основные свойства

Эти свойства нужны для того, чтобы доказывать бесконечную малость последовательности, не применяя определения (1 или 2).

1) Пусть . Тогда:

а) – ограничена;

б) ;

в) ;

г) ;

д) если или , то .

2) Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая.

3) Сумма, разность и произведение б.м. есть б.м.

Для доказательства 1а) возьмем конкретное e, например, e = 1. Тогда . Вне интервала (-1,1) могут находиться лишь конечное число членов, т.е. . Т.к. в конечном множестве чисел есть наибольшее и наименьшее, то все члены находятся между и , т.е. - ограничена.

Докажем свойство 2. Пусть , а - ограничена, т.е. . Для доказательства того, что необходимо взять произвольное и найти номер, начиная с которого . Итак, пусть - произвольное, рассмотрим число . Т.к. , то для этого . Тогда имеем:

,

т.е., начиная с имеем , следовательно .

Примеры использования.

а) , т.к. , а - эталонная б.м.

б) , т.к. и , а - ограниченная.

в) Т.к. для , то . Следовательно .

Замечание. Частное двух б.м. может быть каким угодно.

Задачи (для самостоятельного решения).

1. Пусть . Следует ли отсюда, что или ?

2. Может ли среди членов б.м. последовательности быть бесконечно много

одинаковых членов? Если да, то каких?

Лекция 3

Дата добавления: 2014-11-08