Основные свойства непрерывных функций

1. Устойчивость знака. Если функция f (x) непрерывна в точке x ₀ и f (x ₀)≠0, то в некоторой окрестности точки x ₀ функция f (x) сохраняет знак.

2. Локальная ограниченность. Если функция f (x) непрерывна в точке x ₀, то она ограничена в некоторой окрестности точки x ₀.

3. Ограниченность на промежутке (1^я теорема Вейерштрасса). Если функция f (x) непрерывна на замкнутом промежутке , то она ограничена на этом промежутке.

4. Достижение наибольшего и наименьшего значений (2^я теорема Вейерштрасса). Если функция f (x) непрерывна на замкнутом промежутке , то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. , :

.

5. Прохождение через ноль (1^я теорема Больцано-Коши). Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке и на его концах имеет значения разных знаков. Тогда . Если же f (x) еще и строго монотонная, то такая точка единственная.

Пример использования этого свойства: доказать, что уравнение имеет корень на интервале (0,1). Рассмотрим функцию . Она непрерывна всюду (как элементарная) и , а – значения разных знаков. Значит, . Это число c и есть корень уравнения .

На этом свойстве основан метод интервалов решения неравенств: непрерывная функция между своими нулями сохраняет знак.

6. Прохождение через промежуточные значения (2^я теорема Больцано-Коши). Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке , причем . Тогда

.

Другими словами, непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, принимает и все промежуточные значения.

7. Существование обратной функции. Непрерывная строго монотонная функция имеет обратную также непрерывную строго монотонную с тем же направлением монотонности.

Дата добавления: 2014-11-08