КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Перловская Т.В
П 485 О некоторых натуральных одномерных краевых задачах: Научно-методическое пособие. – Воронеж, 2007. –37с., библ. 13.
ISBN 5-7458-1125-0
Пособие раскрывает математический генезис разнообразных нестандартных краевых задач, возникающих при моделировании упругих деформаций систем одномерных континуумов. Описываемые методы корректно обосновывают условия сочленения (трансмиссии).
Рассчитано на студентов, аспирантов и заинтересованных специалистов, не удовлетворенных интуитивно-наглядными мотивациями в серьезных задачах.
ISBN 5-7458-1125-0 © Ю.В. Покорный, 2007
Возможно, в это трудно поверить, что математической моделью деформаций однородной струны, «испорченной» в одной точке упругой подпоркой (пружиной) будет обычное для струны уравнение (струна предполагается натянутой вдоль отрезка ) (1) (здесь порождается внешней силой) с обычными условиями закрепления концов
(2)
но с одной существенной оговоркой, а именно – уравнение (1) справедливо не на всем отрезке , а с исключенной точкой , т.е. на каждом полуинтервале и . А в этой точке помимо условия непрерывности (3)
должно выполняться и еще одно условие
(4) учитывающее упругую реакцию пружины.
Совсем до недавних времен эта простая физически ситуация не вкладывалась в стандартные теории для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и не встречалась на страницах не только учебников, но и монографий. Согласно традициям учебной математики задачу (1)-(4) нельзя относить к краевым задачам, где дополнительные к уравнению условия являются граничными, т.е. заданы в граничных точках, ибо точка явно не граничная. С другой стороны, если опираться на такую науку, как теория обобщенных функций, то моделью данной физической задачи может служить уравнение
(5)
при условиях (2). В (5) через обозначена так называемая дельта-функция, которая по мнению физиков есть производная от функции Хевисайда
т.е. производная от скачка. Об адекватности обоих описаний одной и той же задачи можно судить, если опереться на классические вариационные принципы физики, весьма эффективно объясняющие все математические особенности подобных «негладких» математических моделей. Проводимый ниже разговор в этом направлении позволит выяснить, что для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка краевая задача (т.е. задача с условиями на концах) гораздо более физична, чем привычная из ОДУ задача Коши.
Содержание
§1. Краевая задача – курьез для ОДУ?! 6 §2. Как в математику вошли краевые задачи. 7 §3. Уравнение Эйлера. 10 §4. Задача о брахистохроне. 16 §5. Задача о струне. 18 §6. Задача Больца. 24 §7. Задача Пуассона. 25 §8. Задача о стержне. 27 §9. Функция Грина. 32 Литература. 37
В университетском курсе «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (сокращенно – ОДУ) речь идет о задачах, возникающих в механике материальной точки, когда неизвестная функция y(x) имеет скалярный аргумент, со времен Ньютона отождествляемый со временем. Поэтому естественна да и понятна наиболее общая для приложений форма записи уравнения в виде
, (1.1) где левая часть отождествляется с силой инерции (иногда левая часть так и записывается в виде ), а правая часть интерпретируется как внешняя сила, действующая на рассматриваемую материальную точку. В более общих ситуациях уравнение (1.1) описывает не скалярнозначную, а векторнозначную функцию – это в случае, когда рассматриваемая система имеет n скалярных параметров и может отождествляться с точкой в n - мерном пространстве R . Как в первой, простейшей скалярной, так и во второй – векторной интерпретации конкретное решение уравнения однозначно определено, если дополнительно заданы так называемые начальные условия – в какой-то «начальный момент времени » задано состояние объекта и его скорость . Разрешимость уравнения (1.1) при таких начальных условиях
является в теории обыкновенных дифференциальных уравнений наиболее принципиальным фактом, которому посвящены наиболее трудные теоремы (Коши, Пеано и проч.). Выпячивание в курсе ОДУ начальной задачи – чисто методическая традиция, отражающая исторический ход развития теории ОДУ. Весь 18в. анализ бесконечно малых, только что созревший в конце 17в., был поставлен на службу задач механики и, в первую очередь – задач небесной механики, где решающую роль играло уравнение (1.1), переписывающее в символьной форме закон Ньютона. Причем существование решения и его качественные свойства (типа устойчивости) тогда и не обсуждались – они были актуализированы лишь в конце 19в., когда внедрение новой математики (опирающееся на дифференциальное исчисление) в механику уже было завершено. Возможность замены начальных условий на какие-либо другие, дополнительные к (1.1) в теории ОДУ обычно даже не обсуждается. Иногда вскользь возникает так называемая задача Штурма – Лиувилля
но ее роль в естествознании обсуждается только в специальной литературе отдельно от теории ОДУ и от натурального генезиса.
Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 457; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |