Элементарные преобразования матриц

Решение.

,

Определение 1.5. Матрица называется противоположной матрице A.

Таким образом, разность двух матриц можно определить так: .

Линейные операции над матрицами обладают следующими свойствами, которые примем без доказательства:

1. ; 5. ;

2. ; 6. ;

3. ; 7. ;

4. ; 8. ;

9. ;

10. .

где A, B и С – матрицы одних и тех же размеров; O – нулевая матрица, (- A) – матрица, противоположная матрице A; a и b - любые действительные числа.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

• перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
• умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
• прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Определение 1.6. Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается

A~ B.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к эквивалентной ей ступенчатой матрице.

Пример 1.2. Привести данную матрицу к трапециевидной:

Решение. Сначала переставим местами первую и вторую строки, т.к. первый элемент второй строки равен 1.

~

[первую строку умножаем на (-2) и складываем со второй строкой;

первую строку умножаем на 3 и складываем с четвертой строкой]

~ ~

[делим третью строку на 2 и переставляем вторую и третью строки местами]

~ ~

[вторую строку умножаем на (-7) и складываем с третьей строкой;

вторую строку умножаем на 5 и складываем с четвертой строкой]

~ ~

[сначала разделим третью строку на 18,

а потом умножим на 21 и сложим с четвертой строкой]

~ .,

Дата добавления: 2014-11-18