Метод Гаусса

Метод Гаусса является исторически первым наиболее распространенным точным методом решения системы линейных уравнений. Сущность этого метода состоит в том, что посредством элементарных преобразований данная система приводится к специальному виду, из которого все решения системы непосредственно усматриваются.

Рассмотрим СЛУ (4.5), содержащую из m уравнений и n неизвестных:

. (4.5)

Метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных, применяемый для решения системы (4.5), состоит в следующем.

Пусть в системе коэффициент , который называется разрешающим коэф-фициентом. Если , то на первое место можно поставить уравнение, в котором коэффициент при неизвестной отличен от нуля. Умножаем первое уравнение системы (4.5) на и прибавляем ко второму, получаем уравнение, в котором коэффициент при обращается в нуль. Умножаем первое уравнение на и прибавляем к третьему, получаем уравнение, также не содержащее члена с . Аналогичным путем преобразуем все остальные уравнения. Если в -ом уравнении коэффициент при равен нулю, то это уравнение записываем в новую систему без изменений. В результате преобразований придем к системе, эквивалентной исходной системе уравнений:

, (4.6)

где - некоторые новые коэффициенты при неизвестных, - новые свободные члены.

Предполагая, что , который становится разрешающим коэффициентом, и, оставляя неизменными первые два уравнения системы (4.6), преобразуем ее так, чтобы в каждом из остальных уравнений коэффициент при обратился в нуль. Продолжая этот процесс, систему (4.6) можно привести к одной из следующих систем:

Дата добавления: 2014-11-18