Произведение матриц

Определение 1.7. Матрицы A и B называются согласованными, если число столбцов («ширина») первой матрицы равно числу строк («высоте») второй матрицы.

Определение 1.8. Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой определяется следующим образом:

. (1.4)

Произведение AB рассматривают как результат умножения матрицы A на матрицу B слева или умножение матрицы B на матрицу A справа.

Пример 1.3. Найти произведения AB и BA для следующих матриц:

и .

Решение. Так как матрица A имеет размерность 2´3, а матрица B – размерность 3´2, то эти матрицы согласованны и результатом произведения AB будет матрица C размерности 2´2.

.

Так как матрица B имеет размерность 3´2, а матрица A - размерность 2´3, то эти матрицы согласованны и результатом произведения будет матрица D размерности 3´3.

.

,

Надо отметить, что результатом произведения двух ненулевых матриц может быть нулевая матрица.

Как видно из примера 1.3. AB ¹ BA.

В случае, когда AB = BA, матрицы A и B называются перестановочными, или коммутативными.

Произведение матриц обладает следующими свойствами, которые примем без доказательства:

1. , единичная матрица E играет роль единицы;

2. , нулевая матрица O играет роль нуля;

3. ;

4. ; 6. ;

5. ; 7. .

где A, B и С – согласованные матрицы; a и b - любые действительные числа.

Дата добавления: 2014-11-18