Минимизация затрат на строительство и эксплуатацию предприятий

Задача по оптимальному размещению производственных предприятий может быть сведена к задаче распределения ре­сурсов согласно критерию минимизации с учетом условий целочисленности, накладываемых на переменные.

Пусть задана потребность в пользующемся спросом про­дукте на определенной территории. Известны пункты, в ко­торых можно построить предприятия, выпускающие данный продукт. Подсчитаны затраты на строительство и эксплуата­цию таких предприятий.

Необходимо так разместить предприятия, чтобы затраты на их строительство и эксплуатацию были минимальные.

Введем обозначения:

х — количество распределяемого ресурса, которое можно использовать n различными способами;

x_i — количество ресурса, используемого по i- му способу (i = 1,n);

g_i(x_i) — функция расходов, равная, например, величине за­трат на производство при использовании ресурса x_i по i- му способу;

φ_k(x) — наименьшие затраты, которые нужно произвести при использовании ресурса х первыми k способами.

Необходимо минимизировать общую величину затрат при освоении ресурса х всеми способами:

_n

φ _n (x)= min ∑ g_i (x_i)

_i=1

при ограничениях

_n

∑ x_i =x

_i=1

x_i ≥ 0, i=1,n

Экономический смысл переменных х_i состоит в нахождении количества предприятий, рекомендуемого для строительства в i-м пункте. Для удобства расчетов будем считать, что пла­нируется строительство предприятий одинаковой мощности.

Рассмотрим конкретную задачу по размещению предприя­тий.

Пример. В трех районах города предприниматель планирует построить пять предприятий одинаковой мощности по выпуску хлебобулочных изделий, пользующихся спросом.

Необходимо разместить предприятия таким образом, что­бы обеспечить минимальные суммарные затраты на их строи­тельство и эксплуатацию. Значения функции затрат g _i(x) при­ведены в табл. 4.

Таблица 4

X
g1 (x)
g2 (х)
g3 (x)

В данном примере g_i (x) — функция расходов в млн. р., ха­рактеризующая величину затрат на строительство и эксплуа­тацию в зависимости от количества размещаемых предприя­тий в i-м районе;

φ_k(x) — наименьшая величина затрат в млн. р., которые нужно произвести при строительстве и эксплуатации предпри­ятий в первых k районах.

Решение. Решение задачи проводим с использованием ре­куррентных соотношений: для первого района

φ_k(x)= min g_i (x_i) = g₁ (x),

для остальных районов

φ_k(x) = min{g_k (х_k) + φ_k-1 - (х – х_k)}, к = 2,п.

Задачу будем решать в три этапа.

1-й этап. Если все предприятия построить только в пер­вом районе, то

φ₁ (1) =g₁ (l) = 11, φ₁ (2)=g₁(2) = 18, φ₁ (3)=g₁(3) = 35,

φ₁ (4) = g₁ (4) = 51, φ₁ (5) = g₁ (5) = 76,

минимально возможные затраты при х = 5 составляют 76 млн. р.

2-й этап. Определим оптимальную стратегию при разме­щении предприятий только в первых двух районах по формуле

Определим

φ₂ (x) = min{g₂ (х₂ ) + φ₁ - (х – х_k)},

Найдем φ₂ (1):

g₂(1) + φ₁(0)=10+0=10,

g₂(0) + φ₁(1 0 = 0 + 11 = 11,

φ₂ (l)=min(10,l1) = 10.

Вычислим φ₂ (2):

φ₂ (2)+ φ₁(0) =19+0=19,

φ₂ (1)+ φ₁(1)=10+11=21,

φ₂ (0)+ φ₁(2)=0+18=18,

φ₂ (2)= min (19,21,18)=18.

Найдем φ₂ (3):

φ₂ (3)+ φ₁(0)=34+0=34,

φ₂ (2)+ φ₁(1)=19+11=30,

φ₂ (1)+ φ₁(2)=10+18=28,

φ₂ (0)+ φ₁(3)=0+35=35,

φ₂ (3)=min(34,30,28,35)=28.

Определим φ₂ (4):

φ₂ (4)+ φ₁(0)=53+0=53,

φ₂ (3)+ φ₁(1)=34+11=45,

φ₂ (2)+ φ₁(2)=19+18=37,

φ₂ (1)+ φ₁(3)=10+35=45,

φ₂ (0)+ φ₁(4)=0+51=51,

φ₂ (4)=min(53,45,37,45,51)=37.

Вычислим φ₂ (5):

φ₂ (5)+ φ₁(0)= 75+0=75,

φ₂ (4)+ φ₁(1)=53+11=64,

φ₂ (3)+ φ₁(2)=34+18=52,

φ₂ (2)+ φ₁(3)=19+35=54,

φ₂ (1)+ φ₁(4) =10+51=61,

φ₂ (0)+ φ₁(5)=0+76=76,

φ₂ (5)= min(75,64,52,54,61,76)=52.

3-й этап. Определим оптимальную стратегию при раз­мещении пяти предприятий в трех районах по формуле

φ₃(х) = min{g₃(х₃) + g₂ (х-х₃)}.

Найдем φ з (5):

φ₃ (5)+ φ₂ (0)= 74+0=74,

φ₃ (4)+ φ₂ (1)=54+10=64,

φ₃ (3)+ φ₂ (2)=36+18=54,

φ₃ (2)+ φ₂ (3)=20+28=48,

φ₃ (1)+ φ₂ (4) =9+37=46,

φ₃ (0)+ φ₂ (5)=0+52=52,

φ₃ (5) = min(74,64,54,48,46,52) = 46.

Минимально возможные затраты при х = 5 составляют 46 млн. р.

Определены затраты на строительство предприятий от 1-го до 3-го этапа. Вернемся 3-го к 1-му этапу. Минимальные затраты в 46 млн. р. на 3-м этапе получены как 9 + 37, т.е. 9 млн. р. соответствуют строительству одного предприятия в третьем районе (см. табл. 29.4). Согласно 2-му этапу 37 млн. р.

получены как 19 +18, т.е. 19 млн. р. соответствуют строительству двух предприятий во втором районе. Согласно 1-му 18 млн. р. соответствуют строительству двух предприятий первом районе.

Ответ. Оптимальная стратегия состоит в строительстве одного предприятия в третьем районе, по два предприятия втором и первом районах, при этом минимальная стоимость строительства и эксплуатации составит 46 ден. ед.

Дата добавления: 2014-11-08