Задачи, относящиеся к прямым в пространстве

Задачи, относящиеся к плоскостям

Пусть заданы две плоскости А₁х+В₁у+C₁z+D₁=0
и А₂х+В₂у+C₂z+D₂=0.

1. Взаимное расположение двух плоскостей:

а) условие перпендикулярности плоскостей

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0; (1.3.9)

б) условие параллельности плоскостей

. (1.3.10)

2. Угол между плоскостями

; (1.3.11)

3. Расстояние от точки М₀(х₀,у₀,z₀) до плоскости Ах+By+Cz+D=0

. (1.3.12)

Пример 1.3.6. Найти расстояние между параллельными плоскостями

2х + Зу - z + 1 = 0 и 2х + Зу - z + 4 = 0.

Решение. Это расстояние равно расстоянию от любой точки одной плоскости до другой. Выберем на первой плоскости произвольную точку, например М₀(0,0,1). По формуле (1.3.12) находим

.

Пример 1.3.7. Найти угол между плоскостями x-3y+z-l=0
и у+z+2=0. По формуле (1.3.11) находим

.

Замечание. Как правило, вычисляется острый угол между плоскостями.

Пусть заданы две прямые в пространстве

1. Взаимное расположение двух прямых:

и . (1.3.13)

а) условие перпендикулярности прямых

; (1.3.14)

. (1.3.15)

б) условие параллельности прямых

2. Угол между прямыми

. (1.3.16)

3. Расстояние от точки М(х₁,y₁,z₁) до прямой :

, (1.3.17)

где , , а векторное произведение вычисляется по формуле (1.2.10).

4. Условие пересечения прямых. Прямые задаются уравнениями (1.3.13). Рассмотрим смешанное произведение , .

Если , (1.3.18)

то прямые пересекаются, если

, (1.3.19)

то прямые скрещиваются.

Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле (1.2.11).

5. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Прямые заданы уравнениями (1.3.13). Если , то расстояние d между прямыми вычисляется по формуле

. (1.3.20)

Пример 1.3.8. Исследовать взаимное расположение прямых

Первая прямая проходит через точку M₁(1,-1,-2), а вторая ‑ через точку М₂(2,1,1). Направляющие векторы прямых ‑ и .

Решение. Вычислим смешанное произведение .

.

Так как выполняется условие (1.3.19), то прямые скрещиваются.

Пример 1.3.9. Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми примера 1.3.8.

Решение. Используем формулу (1.3.20).

; ;

.

Дата добавления: 2014-11-20