Тема 1.2. Векторная алгебра

Вопросы для самопроверки

Решение.

, , . Система линейных алгебраических уравнений несовместна.

Замечание. Однородные СЛАУ всегда совместны, т. к. ранги расши­ренной матрицы системы и матрицы системы совпадают.

1. Какие матрицы называют равными?

2. В каких случаях возможно перемножение двух матриц?

3. В каких случаях существуют произведения как АВ, так и ВА?

4. Что называется минором и алгебраическим дополнением элементов мат­рицы? В чем отличие между ними?

5. Сформулируйте правило Крамера.

6. Как осуществляется транспонирование матрицы?

7. В чем суть метода элементарных преобразований получения обратной
матрицы?

8. Что такое ранг матрицы?

9. Что такое основная и расширенная матрицы системы?

10. Сформулируйте и поясните на примерах теорему Кронекера - Капелли.

Учебники: [1, гл. 1, §§ 1-3], [10, гл. 2], [16, гл. 7].

Аудиторная работа: [2, №№ 1.4, 1.10 (1), 2.1 (1), 2.2 (1), 2.3 (1) - 2.8 (1), 2.28, 3.1 (1), 3.8, 3.19 (1), 3.20 (1), 3.23], [7, гл. 3, №№ 1 (1), 2, 3, 8 (1), 10, 11 (1), 12 (1), 14 (1)], [20, ч. 1, гл. 2, №№ 2.9, 2.35, 2.43, 2.78, 2.79, 2.100 (а), 2.102, 2.106 (а), 2.107, 2.118, 2.127 (а), 2.132, 2.137], [28, занятия 2 (2.2.9, 2.2.10), 3 (3.2.1, 3.2.3, 3.2.5 - 3.2.7), 4 (4.2.4 - 4.2.6), 5 (5.2.2, 5.2.5 - 5.2.7))].

Самостоятельная работа: [2, №№ 1.5, 1.7, 1.10 (2, 3), 2.1 (2 - 5), 2.2 (2), 2.3 (2, 3) - 2.8 (2, 3), 2.29, 2.30, 3.1 (2, 3), 3.19 (2, 3), 3.20 (2))], [7, гл. 3, №№ 1 (2), 4, 6, 7, 8 (2), 9, 11 (2), 12 (2), 14 (2))], [20, ч. 1, гл. 2, №№ 2.11, 2.32, 2.44 –2.46, 2.82 - 2.84, 2.86, 2.100 (б, в), 2.106 (б, в), 2.108, 2.119, 2.127 (б), 2.133, 2.134)], [28, задания 2 (2.3.6, 2.3.7), 3,4,5)].

Для отвлеченного изображения конкретных векторных величин используются векторы. Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок прямой. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Положение начальной точки таких векторов не играет никакой роли. Поэтому геометрические векторы называются свободными.

При изучении темы "Векторная алгебра" студенту следует обратить внимание на ниже рассмотренные вопросы.

1. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число).

Векторы необходимо уметь складывать как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма.

2. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Базисные векторы. Декартов базис.

Пример 1.2.1. Указать при каких значениях ос и Р возможно равенство, где и - единичные векторы (, ).

Решение. Для решения приведенной задачи необходимо рассмотреть возможное расположение векторов и :

а) векторы и сонаправлены (рис. 1.2.1), тогда ;

б) векторы и имеют противоположное направление (рис. 1.2.2).
В этом случае ;

в) векторы и образуют между собой угол . При этом угол
отличен от 0 и радиан (рис. 1.2.3). Приведенное в условии равенство возможно лишь при .

Рис. 1.2.1 Рис. 1.2.2 Рис. 1.2.3

Рассмотренный пример дает представление о линейной зависимости и независимости векторов (важнейшее положение темы "Векторная алгебра").

Линейной комбинацией п векторов называется сумма произведений этих векторов на действительные числа , а именно:

(1.2.1)

(в рассмотренном примере записана линейная комбинация двух единичных векторов и ).

Векторы называются линейно-зависимыми, если их линейная комбинация (формула (1.2.1)) равна нулю, а среди коэффициентов имеется хотя бы один, отличный от нуля. На рис. 1.2.1 – 1.2.2 изображены два линейно зависимых вектора. Они могут быть расположены на одной прямой либо на параллельных прямых.

Два вектора, расположенные на одной либо на двух параллельных прямых, называются коллинеарными.

Условие коллинеарности векторов , где .

Если три вектора расположены в одной либо в параллельных плоскостях, то они называются компланарными.

Компланарные векторы линейно зависимы. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов

.

Векторы называются линейно-независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1.2.1) возможно лишь в том случае, когда коэффициенты одновременно равны 0.

Случай двух линейно-независимых векторов представлен на рис. 1.2.3 (линейная комбинация равна нулю лишь при одновременном обращении в нуль a и b.

Пример 1.2.2. Векторы , , некомпланарны (линейно-независимы). Доказать, что векторы , и компланарны и найти их линейную зависимость.

Решение. Приравняем к нулю линейную комбинацию векторов
, , и подставим в равенство разложения векторов
, , по векторам , , .

Равенство нулю линейной комбинации векторов , , возможно лишь в том случае, когда коэффициенты линейной комбинации равны нулю. Из этого условия получаем систему линейных алгебраических уравнений, которую решим методом Гаусса (пример 1.1.11)

,

; ; , .

Коэффициенты равной нулю линейной комбинации векторов , , могут быть отличны от нуля, следовательно, векторы , , линейно зависимы (компланарны). Подставляя , , в равенство и сокращая на С, получим .

С понятием линейной независимости векторов тесно связано такое фундаментальное понятие как базис.

Базисом на плоскости Q называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов, параллельных плоскости Q. Любой вектор , параллельный плоскости Q, можно представить в виде .

Базисом в трехмерном пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных (линейно-независимых) векторов. Если , , ‑ базис в пространстве, то любой вектор пространства можно единственным образом разложить по этому базису по формуле

.

Декартовым базисом на плоскости (рис. 1.2.4) называются два единичных взаимно–перпендикулярных вектора и , совпадающих с положительным направлением осей ОХ и ОУ соответственно.

Рис. 1.2.4 Рис. 1.2.5

Любой вектор плоскости а может быть единственным образом представлен в виде , где числа а_х и а_y называются координатами вектора .

Декартовым базисом в пространстве (рис. 1.2.5) называются три единичных взаимно перпендикулярных вектора , , , совпадающих с положительным направлением осей ОХ, ОУ и OZ соответственно. Любой вектор а может быть единственным образом представлен в виде , где числа а_х, а_y, а_х, а_z, называются координатами вектора . Если вектор задается координатами начальной А(х_a, у_a, z_a) и конечной А(х_b, у_b, z_b) точек, то его координаты имеют вид

.

Два вектора и равны в том и только в том случае, когда координаты их равны, т. е. a _{х =} b_х, a _у= b_у, a _{z =} b_z.

3. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

(1.2.2)

Из формулы (1.2.2) для ненулевых векторов можно вычислить косинус угла между векторами

. (1.2.2)

Длина вектора определяется по формуле

. (1.2.4)

Из свойств скалярного произведения следует обратить внимание на коммутативный (перестановочный) закон .

Пример 1.2.3. Вычислить угол между векторами и , если
, , , , .

Решение. Угол между векторами вычисляется по формуле (1.2.3).

;

;

.

Таким образом,

, .

Предположим, что в пространстве задан декартов базис и два вектора , .

В декартовом базисе скалярное произведение векторов и длина вектора вычисляются по формулам:

; (1.2.5)

; (1.2.6)

Условие перпендикулярности векторов , или

; (1.2.7)

Условие коллинеарности векторов

, или . (1.2.8)

Пример 1.2.4. При каком значении векторы и перпендикулярны?

Решение. Используя формулу (1.2.4), имеем , или , .

Пример 1.2.5. При каких значениях и векторы и коллинеарны?

Решение. Используя условие коллинеарности векторов (1.2.8), имеем:
. Откуда и или , а .

Пример 1.2.6. Найти вектор , коллинеарный вектору , образующий с ортом острый угол и имеющий длину .

Решение. Пусть вектор имеет координаты . Из условия коллинеарности (1.2.8) имеем , или , , .

По формуле (1.2.6) вычисляем

. Откуда , или . Получаем два вектора и .

Так как угол между вектором и ортом острый, и координата . Поэтому в качестве вектора выбираем вектор , т. е. .

4. Векторное произведение векторов. Необходимо обратить внимание студентов на определение правой и левой троек векторов (рис. 1.2.6 и 1.2.7).

Рис. 1.2.6 Рис. 1.2.7

Тройка некомпланарных векторов называется правой (рис. 1.2.6) или левой (рис. 1.2.7), если эти векторы, будучи приведенными к общему началу, располагаются так, как могут быть расположены, соответственно, большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Векторным произведением векторов и называется вектор , который обозначается символом и удовлетворяет следующим трем условиям:

1) вектор с перпендикулярен плоскости векторов и ;

2) образует с векторами и правую тройку;

3) длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т. е.

; (1.2.9)

Из свойств векторного произведения следует обратить внимание на антикоммутативность, т. е. .

Пример 1.2.7. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , если , , .

Решение. Вычислим векторное произведение векторов и , воспользовавшись формулой (1.2.9)

.

.

.

В декартовом базисе векторное произведение векторов и вычисляется по формуле

. (1.2.10)

Пример 1.2.8. Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию .

Решение. Вектор перпендикулярен векторам и . Поэтому его можно искать в виде

; .

Удовлетворим условию ; ; ; .

Таким образом, вектор имеет вид .

Пример 1.2.9. Вычислить площадь треугольника, вершины которого расположены в точках А(1,2,3), В(2,1,-1), С(3,-1,1).

Решение. . Вычислим координаты векторов и и векторное произведение .

; ;

;

.

5. Смешанное произведение трех векторов. Смешанным произведением трех векторов называется число, которое обозначается символом (смешанное произведение иногда называют векторно-скалярным).

Если векторы некомпланарны, то смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , взятому со знаком "+", если упорядоченная тройка векторов – правая, и со знаком "-", если эта тройка - левая.

Из свойств смешанного произведения трех векторов следует отметить следующие:

1) при круговой перестановке векторов смешанное произведение не меняется, т. е. ;

2) если в смешанном произведении поменять местами два соседних сомножителя, то произведение изменит знак, т. е. ;

3) смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны, т. е. условием компланарности векторов является равенство нулю смешанного произведения этих векторов.

Смешанное произведение векторов в декартовом базисе . Если
, и , то

. (1.2.11)

Условие компланарности векторов . (1.2.12)

Наиболее распространенные задачи, решаемые с помощью смешанного произведения:

1) найти объем параллелепипеда, построенного на векторах :

;

2) найти объем тетраэдра, построенного на векторах : ;

3) проверить, компланарны ли векторы : если , то векторы компланарны, если , то векторы некомпланарны;

4) проверить, правую или левую тройку образуют векторы :

Замечание. Смешанное произведение векторов как правило, записывают в виде .

Пример 1.2.10. Вычислить длину высоты тетраэдра ABCD, проведенную из вершины D к основанию ABC, если вершины тетраэдра имеют координаты: А (1,2,0), В (2,1,1), С (0,-3,-1), D (3,3,4).

Решение. Найдем координаты векторов, выходящих из вершины А:

, , , ;

; ;

Отсюда

.

; ;

.

Дата добавления: 2014-11-20