Тема 1.5. Некоторые сведения о линейных векторных пространствах. Собственные числа и собственные векторы

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение эллипса, гиперболы, параболы.

2. Дайте определение директриссы и эксцентриситета кривых второго по рядка.

3. Какие линии определяют уравнения ? Вычислите параметры кривых.

4. Получите уравнения асимптот гиперболы.

5. Чему равен эксцентриситет для окружности?

6. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки гиперболы до ее асимптот есть величина постоянная.

Учебники: [16, гл. 16, § 1.2].

Аудиторная работа: [7, гл. 2, § 4, №№ 34 (1.2), 37 (2), 39 (1), 40 (1, 2), 41 (1, 2) ], [20, ч. 1, гл. 4, №№ 4.83, 4.86, 4.90, 4.106 (а), 4.183], [28, занятия 14 (14.2.1, 14.2.4), 15 (15.2.1, 15.2.4, 15.2.7)].

Самостоятельная работа: [7, гл. 2, § 4, №№ 35, 37 (1, 3, 4), 39 (2), 40 (3), 41 (3, 4)], [20, ч. 1, гл. 4, №№ 4.84, 4.87, 4.91, 4.92, 4.106 (б), 4.184], [28, занятия 14(14.3.3), 15(15.3.1, 15.3.5, 15.3.8, 15.3.9)].

В теории линейных векторных пространств обобщается понятие вектора, введенного в курсе векторной алгебры.

Упорядоченная совокупность n чисел называется n ‑мерным вектором, а числа , составляющие эту совокупность, называются координатами вектора х; n –мерный вектор можно рассматривать как матрицу-строку или матрицу-столбец, состоящую из n элементов.

Линейным векторным пространством называется множество векторов (любой природы), для которых определено два действия ‑ сложение и умножение на произвольное число. Линейные n –мерные векторные пространства будем обозначать L_n.

Если и , то:

1. x=y, если ;

2. ;

3. .

Приведенные определения позволяют рассматривать векторы общего вида не обязательно геометрической природы. Примеры линейных пространств:

а) множество геометрических векторов R₃;

б) множество всех многочленов Рn{х}, степени, не превосходящей n;

в) множество матриц A_mn размерности mn;

г) пусть ‑ количество i –го сырьевого продукта, измеренного в подходящих единицах, тогда векторы вида могут задавать

суточную потребность предприятия в сырье, запасы сырья, хранящегося на складе, и т. д.

Любая совокупность п линейно независимых векторов в и-мерном пространстве образует базис в этом пространстве (определение линейной зависимости и независимости векторов см. в теме 1.2).

Пример 1.5.1. Показать, что система векторов

, , ,

образует базис в пространстве квадратных матриц Представить матрицу А₂₂ в виде линейной комбинации векторов .

Решение. Составим линейную комбинацию , и приравняем ее, к нулю:

.

Отсюда .

Мы получили, что линейная комбинация векторов St, i = 1,4 равна нулю лишь в том случае, когда все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Согласно определению (см. тему 1.2) векторы линейно независимы и могут быть использованы в качестве базисных векторов.

Разложение матрицы А₂₂ по базису имеет вид

.

Линейное пространство называется евклидовым, если в нем каждой паре векторов х, у сопоставлено число, которое называется скалярным произведением этих векторов, обозначается (х, у) и удовлетворяет аксиомам:

1. (х, у)= (y, x);

2. (x₁+x₂,y)=(x₁,y)+ (x₂,y);

3.

4. (х, у)>0, если и (x,x)=0, если ч=0.

Число называется нормой вектора в евклидовом пространстве. Неравенство называется неравенством Коши‑Буняков-ского.

Два вектора евклидового пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. (х,у)=0.

Линейные преобразования. Если указано правило f, по которому каждому вектору x линейного пространства L_n ставится в соответствие единственный вектор у этого пространства, то говорят, что в нем задано преобразование (отображение, оператор).

Преобразование f линейного пространства L называется линейным (линейным оператором), если для любых векторов этого пространства и любого выполняются условия

; . (1.5.1)

Если линейное пространство L – n –мерное пространство, а f –линейное преобразование (оператор), осуществляющее отображение у=f(х), , то можно построить матрицу этого преобразования

(1-5.2)

такую, что у = Ах, или .

Замечание. Если вектор геометрический, то над ним ставится стрелка.

Пример 1.5.2. Показать, что преобразование , где ‑ постоянный вектор, , есть линейное в линейном пространстве L₃ и построить его матрицу А.

Решение. Чтобы доказать линейность преобразования , достаточно проверить свойства (1.5.1).

Пусть , тогда

,

,

т. е. свойства линейности (1.5.1) выполнены и преобразование линейно.

Построим матрицу преобразования

,

откуда , .

Предположим, что в линейном пространстве L_n заданы базисы и , а также матрица А линейного преобразования f в базисе . Тогда матрица линейного преобразования в базисе будет иметь вид

, (1.5.3)

где Т – матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример 1.5.3. В базисе преобразование f имеет матрицу . Найти матрицу преобразования f в базисе , .

Решение. Матрица (координаты векторов и записываются в столбцы, соответственно, в первый и второй (см. формулу 1.1.6)).

По формуле (1.5.3) находим

.

Собственные числа и собственные векторы матрицы линейного
преобразования (оператора)

Всякий ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования, если

, (1.5.4)

где – некоторое число, называемое собственным значением (числом) линейного преобразования.

Если матрица А имеет вид (1.5.2), то равенство (1.5.4) записывается в виде системы линейных алгебраических уравнений

, (1.5.5)

Система (1.5.5), однородная СЛАУ, имеет отличные от нуля (нетривиальные) решения тогда и только тогда, когда определитель равен нулю. Отсюда следует, что

. (1.5.6)

Уравнение (1.5.6) называется характеристическим уравнением матрицы данного линейного преобразования. Каждый действительный корень уравнения (1.5.6) является собственным числом. Соответствующие собственному числу координаты собственного вектора находятся из системы (1.5.5) методом, изложенным в теме 1.1 (см. пример 1.1.11).

Пример 1.5.4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы линейного преобразования

.

Решение. Система однородных линейных алгебраических уравнений (1.5.5) для нахождения собственных векторов имеет вид

(1.5.7)

Вычислим определитель (1.5.6) и решим соответствующее характеристическое уравнение

.

Характеристическое уравнение имеет вид , а его решение . Найденные значения подставим в систему (1.5.7):

Решение этой системы , а соответствующий единичный вектор .

При ; при .

Решения систем линейных уравнений рассмотрены в теме 1.1 (см. пример 1.1.11).

Необходимо отметить следующие свойства собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы:

1. Корни характеристического уравнения вещественной симметрической матрицы вещественны;

2. Собственные векторы вещественной симметрической матрицы, отвечающие различным собственным значениям, - ортогональны (проверьте на собственных векторах матрицы примера 1.5.4).

Дата добавления: 2014-11-20